Colle N°29: Dimension finie

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S29 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. DIMENSIONFINIE Espaces vectoriels de dimension finie D´efinition : Un K-e.v. est dit de dimension finie s’il poss`ede une famille g´en´eratrice finie. Proposition*.— Soit E un e.v. de dim finie sur K. SoientL (resp. G) une famille finie et libre (resp. g´en´eratrice) de vecteurs de E, telles que L⊆G. Alors, il existe une baseB de E telle queL⊆B⊆G. Th´eor`eme*.— Th´eor`eme de la base incompl`ete —.Soit E un K-e.v. de dim finie sur K. Toute famille libre finie L de vecteurs de E peut ˆetre compl´et´ee en une base de E. De toute famille g´en´eratrice finie G de E, on peut extraire une base. Corollaire.— Tout espace de dimension finie poss`ede des bases. Th´eor`eme*.— Th´eor`eme de la dimension —. Soit E un K e.v. de type fini. Alors toutes les bases de E ont mˆeme cardinal. Cet entier est appel´e la dimension de E. ⋆ Th´eor`eme.— Caract´erisation des espaces de dimension n —. Soient E un e.v. sur K et n∈N . Alors n E est de dimension finie n si et seulement si E est isomorphe `a K . Connaˆıtre : les exemples classiques d’espaces vectoriels de dim finie et leur dimension. Sous-espaces vectoriels en dimension finie Th´eor`eme.— Dimension d’un sous-espace —. Soit E un K-e.v. de dim finie et F un s.e.v. de E. Alors F est de dim finie et dim F ≤ dim E.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 22
• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S29

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

DIMENSION FINIE

Espaces vectoriels de dimension finie
De´finition:UnK-e.v. est dit dedimension finie`dmafeellis’poil.eg´en´eratricefini
sse e un

Proposition*.—SoitEun e.v. de dim finie surK. SoientL(resp.G) une famille finie etlibre(resp.e)dtareecirg´ne´
vecteurs deE, telles queL ⊆ G. Alors, il existe une baseBdeEtelle queL ⊆ B ⊆ G.

The´ore`me*.—The´ore`medelabaseincompl`ete—.SoitEunK-e.v. de dim finie surK.

Toute famille libre finieLde vecteurs deEeputˆetrecompl´et´eenenubesadeeE.
toDeefutilamg´lee´nertarfiecieinGdeE, on peut extraire une base.

Corollaire.—

Toutespacededimensionfinieposs`ededesbases.

Th´eor`eme*.—The´or`emedeladimension—.SoitEunKe.v. de type fini. Alors toutes les bases deEtmˆeonme
cardinal.Cetentierestappel´eladimension deE.

Th´eor`eme.—Caract´erisationdesespacesdedimensionn—.SoientEun e.v. surKetn∈N⋆. Alors

Eest de dimension finiensi et seulement siErpmo`aheseositKn.

Connaıˆtre:de dim finie et leur dimension.les exemples classiques d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels en dimension finie

Th´eore`me.—Dimensiond’unsous-espace—.SoitEunK-e.v. de dim finie etFun s.e.v. deE. Alors

Fest de dim finie etdimKF≤dimKE.
De plusF=Esi et seulement sidimKF=dimKE.

Th´eore`me.—The´or`emedesquatredimensions—.SoientF Gdes s.e.v. d’unK-e.v. de dimension finieE. Alors
F,G,F∩GetF+Gsont de dimensions finies et
dimKF+G+dimKF∩G=dimKF+dimKG

The´ore`me.—
finie. Alors

.

Caracte´risationdessupple´mentairesendimfinie—.SoientFetGdeux s.e.v d’unK-e.v.Ede dim

FetGntai´emeresspulpnostssi

{~0}
••dFim∩KFG+=diEmKG=dimKE

The´or`eme.—Existencedesupple´mentairesendimfinie—.SoitEunK-e.v. de dim etFun s.e.v. deE. AlorsF
posse`deunsupple´mentaireGdansE. De plusdimKG=dimKE−dimKF
Savoir-faire :rustoncriuesnpulpe´emtnairedeFbenuaesatpad.ee´aumoyend’

1

Familles de vecteurs en dimension finie

Proposition.—Familleslibresetg´ene´ratricesendimfinie—.SoitFune famille de vecteurs d’un
dimension finien. Alors
siFest libre, alorsFest finie etCard(F)≤n.siCard(F)> n, alorsFets.eile´
siF,aectegerrina´tressloFest infinie ouCard(F)≥n.siCard(F)< n, alorsFe’naptse´gs
´

K-e.v. de

ne´ratrice.

Vocabulaire :SoitFune famille de vecteurs d’unK-e.v. dedimension finien.
Fest libre maximale, siFest libre et decardinaln.
Fmila,eisrtcimenieng´ra´esteF´eratriceeetsdteg´encardinaln.

Th´eor`eme.—Caracte´risationdesbasesendimfinie—.SoitEunK-e.v. de dimension finie etFune famille de
vecteurs deEequivalentes:snusvinaetssno´toitressaseL.

Fest une basesi et seulement siFest libre maximalesi et seulement siF´en´estgecirtareelaminim

De´finition:Rangd’unefamilledevecteurs—.On noteRgF=dimKVectK(F).

Proposition.—

SoitFune famille depvecteurs d’unK-e.v.Ede dimension finien∈N. AlorsRgF ≤min{n p}.

Th´eor`eme.—SoitFune famille depvecteurs d’unK-e.v.Ede dimensionn∈N. Alors

• Fgtseatern´´edeceriEsi et seulement siRgF=n
• Fest libre dansEsi et seulement siRgF=p
• Fest une base deEsi et seulement siRgF=n=p

Applicationslin´eairesendimensionfinie

The´ore`me.—Formuledurang—.SoientEetFdes e.v. etu∈ L(E F). On suppose queEest de dim finie. Alors
KeruetImusont de dim finie et
dimKE=dimKImu+dimKKeru

The´ore`me.—Caracte´risationdesisomorphismesendimfinie—.SoientEetFdeuxK-e.v. de dim finie et de
mˆemedimensionetu∈ L(E Fvantessotionssuilaneet:stne´uqviaseLress.)

uest un isomorphismesi et seulement siuest injectifsi et seulement siuest surjectif

Remarque :ppiluqeepnraituclierauxendomorphsiemdsu’nceesr´taul’atsK-e.v. de dim finie.
D´efinition:Rangd’uneapplicationlin´eaire—.SoientEetFdeuxK-e.v. etu∈ L(E F). On suppose queEest
de dim finie. On appellerang deu, et on noteRgu, la dimension deImu.

Proposition.—SoientEetFdesK-e.v. de dim finies respectivespetn, etu∈ L(E F). AlorsRgu≤min{n p}.

Th´eor`eme.—SoientEetF

•
•
•

deuxK-e.v. de dim finies respectivespetn, etu∈LK(E F). Alors

fest injective
fest surjective
fest un isomorphisme

si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si

2

Rgf=dimKE
Rgf=dimKF
Rgf=n=p