Correction : Algèbre générale, Convolution de suites réelles
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1.a
1.b
1.c
1.d
2.a
2.b
Correction
Soit,∈.∀∈ℕ, (⊻)()=∑()(−)ℓ==−ℓ∑(−ℓ)(ℓ)=∑()(−)=(⊻)() .
=0=0=0
Par suite⊻=⊻et on peut conclure que⊻est commutative.
Soit,,∈.∀∈ℕ,[(⊻)⊻]()=∑(⊻)()(−)=∑ ∑(ℓ)(−ℓ)(−) et
=0=0ℓ=0
− −
[⊻(⊻)]()=∑()∑(ℓ)(−−ℓ)=∑ ∑()(ℓ)(−−ℓ) .
=0ℓ=0=0ℓ=0
Pour identifier les deux expressions, plusieurs démarches sont possibles :
(1) (⊻)⊻()=∑()()()=⊻(⊻) () .
++=
− −
[⊻(⊻)]()==∑ℓ=∑()(ℓ)(−−ℓ)ℓ′==−−ℓ=∑ℓ′∑=()(−−ℓ′)(ℓ′)
(2)0−ℓ0′0ℓ0
=()(−− ′)(′)′=()(−)(−)= [( )]()
ℓ′∑=0=∑0ℓ ℓℓ=−ℓℓ=∑0=∑0ℓ ℓ⊻ ⊻
Soit∈.∀∈ℕ, (⊻ε)()=∑()ε(−)=0+⋯+0+()=() donc⊻ε=.
=0
Par commutativité, on aussiε⊻=et on peut donc conclure queεest élément neutre.
Soit,,∈.∀∈ℕon a :
[⊻(+)]()=∑()(+)(−)=∑()((−)+(−)
=0=0
=∑()(−)+∑()(−)=(⊻)()+(⊻)()= [(⊻)+(⊻)]()
=0=0
Par suite⊻(+)=(⊻)+(⊻ par commutativité :) et (+)⊻=(⊻)+(⊻) .
Finalement⊻est distributive sur+.
(,+,⊻ un anneau commutatif de nulle la suite nulle et d’élément unité la suite) estε.
Cherchons∈tel que⊻=ε (i.e. tel que⊻)(0)=1 et∀∈ℕ*, (⊻)()=0
(⊻)(0)=(0)(0)=1 impose(0)=1 .
(⊻)(1)=(0)(1)+(1)(0)=(1)+ρ=0 impose(1)= −ρ.
(⊻)(2)=(0)(2)+(1)(1)+(2)(0)=(2)−ρ2+ρ2=0 impose(2)= ainsi de suite.0 et
Suite à cette étude nous visualisons quel doit être l’inverse de, il ne reste plus qu’à vérifier que « ça
marche » :
Soitla suite définie par(0)=1 ,(1)= −ρet∀≥2,()=0 .
On a (⊻)(0)=(0)(0)= (1 ,⊻)(1)=(0)(1)+(1)(0)=(1)+ρ=0 et∀≥2 :
(⊻)()=∑()(−)=0+⋯+0+ρ−1×(−ρ)+ρ×1=0 .
=0
Finalement⊻=εet par commutativité⊻=ε. Ainsiest inversible et d’inverse.
⊂.
ε∈car la suiteεest nulle à partir du rang 1.
Soit,∈. Il existe,∈ℕtel que∀>,()=0 et∀>,()=0 .
D’une part :∀>max(,), (−)()= donc0 et−∈.
D’autre part :∀>+, (⊻)()=∑()(−)=∑()(−)+∑()(−) .
=0=0=+1
Or∑()(−)=0 car∀≤on a−≥ >donc(−)=0
−
=0
et∑()(−)=0 car∀≥+1 on a()= (0 . Ainsi⊻)()=0 .
=+1
2.c
3.a
3.b
4.a
4.b
4.c
Finalement⊻∈.
Ainsiest un sous anneau de (,+,⊻) .
Clairement(ε)=ε. Soit,∈.∀∈ℕon a
(+) ()=(−1)(+)()=(−1)()+(−1)()=() ()+() ()=()+() ()
Donc(+)=()+() .
[(⊻)]()=(−1)(⊻)()=(−1)∑()(−)=∑(−1)()(−1)−(−)
=0=0
donc[(⊻)]()=∑[()]()[()](−)= [()⊻()]()
=0
donc(⊻)()() .
=⊻
Finalementest un endomorphisme de l’anneau (,+,⊻) .
De plus∀∈,∀∈ℕon a(()) ()=(−1)()()=(−1)(−1)()=() donc
()()=puis=Id. Ainsidonc une bijection et on peut alors parlerest une involution. C’est
d’automorphisme involutif.
Soit∈inversible etsont inverse.
⊻=εdonne (⊻)(0)=1 i.e.(0)(0)=1 . Par suite(0)≠0 .
Soit∈tel que(0)≠0 . Soit∈la suite définie par :
(0)=)0( et 1∀∈ℕ*,()= −∑=1(()0)(−).
Cette suite est correctement définie et on a d’une part (⊻)(0)= d’autre1 et
part∀∈ℕ∗, (⊻)()=∑()(−)=(0)()+∑()(−)=0 de sorte que⊻=ε. De
=0=1
plus par commutativité⊻=εet on peut conclure queest inversible (et d’inverse).
{∈ℕ/()≠0}est une partie deℕnon vide car≠0 .
Puisque toute partie non vide deℕpossède un plus petit élément, l’existence deest assurée.
De même
