Correction : Algèbre générale, Entiers somme de deux carrés

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Arithmétique. Structures algébriques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 30
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

1.c

2.a

2.b

2.c

2.d

3.a

Correction

Partie I

ℤ⊂ℂ, 1=1+0.∈ℤet∀,∈ℤ, on peut écrire=+,=+avec,,,∈ℤ
On a−=(−)+(−)∈ℤ(car−,−∈ℤ),
et=(−)+(+)∈ℤcar−,+∈ℤ.
Ainsiℤ (est un sous anneau deℂ,+,×) .

∀,∈ℤ,()===()()
∀∈ℤ, on peut écrire=+avec,∈ℤdonc()==2+2∈ℕ.

Supposons∈ℤinversible et introduisons∈ℤtel que=1 .
On a()=(1)=1 et()=()() donc()()=1 avec(),()∈ℕ.
Par suite()=()=1 .
On peut écrire=+avec,∈ℤ.
()=2+2=1 donne (,)=(1, 0), (− (0, ou1, 0), (0,1)−1) donc= ±1 ou= ±.
Inversement, ses éléments sont inversibles car 1×1= (1 ,−1)×(−1)=1 ,×(−)=1 et (−)×=1 .
= {1,,−1,−}.

Si|et|alors il existe,∈ℤtel que=et=.
On a alors=()avec∈ℤet par suite|.
Si|et|alors il existe,∈ℤtel que=et=.
Par suite=().
Si≠0 , on obtient=1 doncest inversible et alors= ±1 ou= ±.
Par suite= ±ou= ±.
Si=0 alors==et donc=.
Si|alors il existe∈ℤtel que=. On a alors()=()=()() avec()∈ℕ
donc() |() .

(1+)=2 et Div(2)∩ℕ= {2,1}.
Sidivise 1+alors()=1 ou()=2 .
Si()=1 alors= ±1 ou= ±.
Si()=2 alors=1+,1−,−1+ou−1−.
Inversement, les nombres proposés sont diviseurs de 1+.
(1+3)=10 et Div(10)∩ℕ= {1, 2,5,10}.
Si()=1 alors= ±1 ou= ±.
Si()=2 alors=1+,1−,−1+ou−1−.
Si()=5 alors=1+2,1−2,−2+ou−2−.
Si()=10 alors=1+3,1−3,−3+ou−3−.
Inversement, les nombres proposés sont diviseurs de 1+3.
Soitet Re(les entiers respectivement les plus proches de) et Im() .
Pour=+.∈ℤ, on a(−)=(−Re())2+(−Im)2≤14+41≤12<1 .
Il n’y a pas unicité de. Par exemple, pour=12+ 0,1,, les quatre complexeset 1+conviennent.

3.b

1.

2.a
2.b

2.c

2.d

3.a

3.b
4.a

4.b

1.a

1.b

2.a

Soit∈ℤtel que−<1 et= −
  ∈ℤ.
On a=+et()=(−)=()−<() (sachant
 ()>0 ).

Partie II

δ.ℤ⊂ℤ. 0=δ.0∈δ.ℤ.∀,∈δ.ℤ, on peut écrire=δ.et=δ.avec,∈ℤ
On a−=δ.(−)∈δ.ℤcar−∈ℤ. Ainsiδ.ℤ (est un sous groupe deℤ,+) .
=.1+.0∈(,) et=.0+.1∈(,) .

.

={() /∈(,) \{0}}est une partie deℤ, minorée par 1 et non vide car() ou()
appartient à cet ensemble (selon que≠0 ou≠0 ). Par suitepossède un plus petit élément>0 .
δ∈(,) donc on peut écrireδ=ξ+ξ′avecξ,ξ′∈ℤ.
∀∈δ.ℤ, on peut écrire=δavec∈ℤ.
On a alors=(δξ)+(δξ′)∈(,) . Ainsiδ.ℤ⊂(,) .
Inversement, soit∈(,) . On peut écrire=+′avec,∈′ℤ
Réalisons la division euclidienne deparδ:=δ+avec()<(δ) .
Or=−δ=(−ξ)+(′−ξ′)∈(, si) donc≠0 , on a()∈. Ceci contredit la
définition de=mincar()<(δ)=. Nécessairement=0 et par suite∈δ.ℤ.
∈(,)=δ.ℤdonc on peut écrire=δ.avec∈ℤ. Ainsiδ|. De mêmeδ|.
Si|δalors|et|par transitivité de la divisibilité.
Inversement si|et|alors on peut écrire=et=avec,∈ℤet donc l’écriture
δ=ξ+ξ′avecξ,ξ∈′ℤintroduite ci-dessus donneδ=(ξ+ξ′) . Ainsi|δ.
(,)=δ.ℤ=ℤcarδ∈ {±1,±}.
Or 1∈ℤdonc 1∈(, par suite) et∃,∈′ℤtels que 1=+′.
Supposons|. On a=×1=+′, or|et|′donc sans difficultés|.
Posonsδun pgcd deet.δest un diviseur de l’élément irréductible.
Siδ= ±ouδ= ±alors, puisqueδ|,|. Ceci est exclu.
Il resteδ= ±1 ouδ= ±et doncetsont premiers entre eux.
Sidivise: ok
Sinon,est premier avecet donc puisque|on a|en vertu de II.3b.

Partie III

Si∈ Σalors on peut écrire=2+2avec,∈ℤet alors=() avec=+.∈ℤ
Inversement, si=() avec∈ℤ, alors on peut écrire=+.avec,∈ℤet on a
( )=2+2∈ Σ.
 
Si,′Σ∈alors on peut écrire=() et=′() avec,∈ℤ.