Correction : Algèbre linéaire, Endomorphismes commutant avec les translations
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D’après Banque PT 2001
1.a
1.b
1.c
1.d
2.a
2.b
Correction
Partie I
En développant selon la dernière colonne :()=∑(−1)avecle mineur d’indice
=0
(+1−,+1) du déterminant définissant() .
De part sa description,est un constante indépendante de. Par suiteest une fonction polynomiale
de degré inférieur ou égal à.
Le coefficient dedans() est (−1)avec=−1. Ainsiλ=(−1)−1.
Les0,1,...,−1annulentcar pour=avec∈ {0,1,...,−1}, le déterminant exprimant()
possède deux colonnes identiques. Par suite les0,1,...,−1sont racines de.
−1
Comme0,1,...,−1sont des racines deux à deux distinctes de, on peut écrire()=()∏(−)
=0
avecune fonction polynomiale.
Or deg≤doncest une fonction polynomiale constante (éventuellement nulle).
−1
Puisque le coefficient dedansestλ, on a()=λ∏(−) .
=0
Par récurrence sur∈ℕ∗.
Pour=1 :1=1=1 et∏(−)= il n’y a pas de termes dans ce produit).1 (car
0≤<≤1
Supposons la propriété établie au rang−1≥1 .
Au rang, en reprenant les notations ci-dessus :
−11−−1
=()=λ=∏0(−)=(−1)−1∏=0(−)=0≤∏<≤1−(−)∏=0(−)=0∏≤ <(≤−)
Récurrence établie.
0000
012
⋯
11 11 11 11
⋯
012
=∑−donc Mat=⋮−−⋮−−⋮−−⋮−−avec=
=01111
⋯
012
⋯
0000
⋯
012
1−1 1−1− −
0112 1⋯11
det= ⋮⋮ ⋮ ⋮donne
− − − −
101112⋯1
⋯
⋯
0 1
1 1 1
=∏=0⋮−⋮−⋯⋮−=∏=00≤∏<≤−≠
det0 1( ) 0
1 1⋯1
Doncest une base deℝ.
1.
1.b
2.
3.a
3.b
3.c
4.a
4.b
4.c
5.
Partie II
Soit∈ℝ, on peut écrire=∑et on a()=∑(+)∈ℝ[].
=0=0
Ainsi:ℝ→ℝ. De plus, soitλ,∈ℝet,∈ℝ.
(λ+)=(λ+)(+)=λ.(+)+.(+)=λ.()+.() .
Finalementest un endomorphisme deℝ.
1 2⋯
0 1 2⋯−1−1
Mat()= 10 0−2−2∈+(ℝ) donc det=1 .
⋮ ⋱ ⋱ ⋮
0 00
⋯ ⋯
⊂(ℝ) .
∀∈ℝ, Id=Id donc Id∈.
Soitλ,∈ℝetϕ,ψ∈.
∀∈ℝ, (λϕ+ψ)=λ(ϕ)+(ψ)=λ(ϕ)+(ψ)=(λϕ+ψ)
et (ϕψ)=ϕψ=(ϕψ) doncλϕ+ψ∈etϕψ∈.
Ainsiest un sous-espace vectoriel et un sous-anneau deℝ.
Soit∈ℝ, on peut écrire=∑. Pour tout∈ℝ:
=0
D’une part()=∑(+)et(())=∑(+)−1,
=0=1
d’autre part()=∑−1et(())=∑(+)−1,
=1=1
donc=. Ainsi∈.
Puisque∈et queest un sous-anneau :∀∈ℕ,∈.
Supposonsλ0.Id+λ1+λ22+...+λ=0 .
i.e.∀∈ℝ,λ0.+λ1′+λ2′′+...+λ()=0 .
Pour=:λ0+λ1−1+(−1)λ2−2+...+!λ=0 .
Par identification des coefficients de deux polynômes égaux :λ0=λ1=...=λ=0 .
Soitλ,∈ℝetϕ,ψ∈:
θ(λϕ+ψ)=(λϕ+ψ)()=λϕ()+ψ()=λθ(ϕ)+θ(ψ) .
Doncθest un application linéaire.
Soitϕ∈kerθ. On aϕ()=0 .
Orϕ∈donc∀∈ℝ,ϕ((+))=ϕ(())=(ϕ())=(0)=0 .
Considérons0,1,...,des réels deux à deux distincts.
On a vu que ((+))0≤≤est une base deℝet part la relation ci-dessus
∀0≤≤,ϕ((+))=0 doncϕ=0 .
Ainsi kerθ= {0}.θest injective.
L’injectivité deϕimplique : dim≤dimℝ=+1 .
