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Correction : Algèbre linéaire, Hyperplan dans l'espace des matrices carrées

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Exrait

Correction

Mines de Sup 2000
1.:→ℝ.
Soitλ,∈ℝet=(,),=(,) dans
.
λ.+.=(λ,+.,),donc
  
(λ+.)=∑(λ.,+.,)=λ∑,+.∑,=λ.()+.()
.
=1=1=1
Donc∈∗.

Soit∈.:→ℝ.
Soitλ,∈et,∈.
(λ.+.)=((λ.+.))=(λ.+.)=λ()+()=λ.()+.()
Donc∈∗.
  
2.a=( ) avec,=∑,,donc()=∑ ∑,,.
,
=1=1=1
On conclut en réindexant les sommes.
2.b=(/,) avec/,=,.
   
()=∑ ∑/,,=∑∑,,.
=1=1=1=1
()=()=(())=()=()=() .
3.a ker=.
3.b Si≠0 elle possède au moins un coefficient non nul. Notons (,) son indice etλsa valeur.
Pour (0,0)=(,) :(0,0)=(0,0)=λ≠0 .
Imest un sous-espace vectoriel denon réduit à{0}c’est donc.
Par le théorème du rang : dim=dim−1=2−1 .
4.a,(,)=(,,)=(,,) (se voit égal au coefficient d’indice,) de,c’est à direδ,δ,.
4.b Montrons que la famille est libre.
 
Si∑ ∑λ,,=0 alors
=1=1
 
∀1≤,≤, on a∑ ∑λ,,(,)=0
=1=1
 
d’où∑ ∑λ,δ,δ,=0 puisλ,=0 .
=1=1
La famille des,est libre et formée de2=diméléments de, c’est donc une base de.
4.cϕ:→∗est bien définie.
Soitλ,∈ℝet,∈.
∀∈,ϕ(λ.+.)()=((λ.+.))=λ.()+()=λϕ()()+ϕ()() .
Doncϕ(λ.+.)=λ.ϕ()+.ϕ() .
ϕest une application linéaire.
De plusϕ (transforme la base,)1≤,≤deen (,)1≤,≤qui est une base (,∗) ,ϕest donc un
isomorphisme deℝ-espace vectoriel.
5.a Comme∉, la matrice Vect( dimest non nulle et donc)=1 .
Soit∈∩Vect() .
s’écritλ.avecλ∈ℝ.

5.b

5.c

6.a

6.b

7.

Siλ≠0 alors=1λ.∈ce qui est exclu.
Nécessairementλ=0 puis=0 .
Ainsi∩Vect()= {0}, de plus dim+dim Vect()=2, on peut conclure queet Vect() sont
supplémentaires dans.
∀∈,∃!(,α)∈×ℝtel que=+α..
Posonsℓ()=α, on définit ainsi une applicationℓ:→ℝ.
Montrons sa linéarité :
Soitλ,∈ℝet,∈.

∃!(,α)∈×ℝet∃!(,β)∈×ℝtels que :
=+α.et=+β..
On aℓ()=αetℓ()=β. Calculonsℓ(λ.+.) .
On aλ.+.=(λ.+.)+(λα+β).avecλ.+.∈ceci permet de reconnaître :
ℓ(λ.+.)=λα+β=λℓ()+ℓ() .
Ainsiℓest une forme linéaire sur.
De plus kerℓ=puisque les matricesqui annulentℓsont celles qui s’écrivent :=+0.
avec∈.
Pour=ϕ−1(ℓ)≠0 , on a=ker=kerϕ()=kerℓ=.
rg()=doncest inversible.


()=()=∑(, )=0 .
=1

Soitun hyperplan deet∈\{0}telle que=.
Posons=rg() , on sait qu’il existe des matrices inversibles,telles que=.
Pour tout∈,()=()=(−1−1)=(−1−)1.
Pour=, qui est une matrice inversible, on a()=()= donc0 et∈.
Ainsi= possède au moins une matrice inversible, la matrice.