Correction : Algèbre linéaire, Matrice circulante d'ordre 3

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Calcul matriciel. Espace euclidien. Polynômes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 78
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

d’après ICARE 98 et Archimède PC 97

1.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

1.a

Correction

Partie I

0 0 1
2= et1 0 03=. Puisque×2=,est inversible et−1=2.
0 1 0
(,,)=.+.+.2donc=Vect(,,2) .
Par suite (est un sous-espace vectoriel et,,2) en est une famille génératrice.
Supposonsλ.+.+ν.2=3. On a clairementλ==ν=0 .
Par suite (,,2 une famille libre et donc une base de) est. dim=3 .
(,,)(′,′,′)=(+′+′′)+(′+′+′)+(′+′+′)2car4=.
⊂3(ℝ) ,∈et∀,′∈avec=(,,) et′(′,′,′) on a
−∈′et=′(+′+′′,+′′ +′,′ +′ +′)∈.
Par suiteest un sous-anneau de3(ℝ) . Puisque′=′, ce sous-anneau est commutatif.
   ++  1 
det=  =++  =(++) 0− −
   ++  0− −
donne det=(++)((−)(−)+(−)2)
ou via Sarrus det=3+3+3−3

 detest inversible ssi≠0 .
Compte tenu du calcul effectué en 2.b et du fait que (,,2 libre :) est
++=1
=⇔++=0
++=0
     
Le déterminant de ce système est  =  =det≠0 .
  rtranspositionpa  
Ce système est donc de Cramer.
Par les formules de Cramer :
1  1
0  0
0  2− 0 2−
=
det=3+3+3−3,=det=3+3+3−3,
 1
 0
2
 0−
= =
det3 3 33 .
++−

Partie II

Mat()∈(3) donc∈() .
Soit=.+.+.∈.()=⇔==.
L’ensemble des vecteurs invariants parest la droite=Vect() avec=1(3++) .
Par suiteest une rotation vectorielle autour de la droite. Orientons celle-ci par le vecteuret

1.b

2.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

notonsθ tr(l’angle de cette rotation.)=0=2 cosθ+1 donc cosθ= − .1 2
Det(,,())=11001011301= −13<0 donc sinθ<0 puisθ= −23π[2π]. Finalement :
est la rotation d’axe dirigé et orientons par=31(++) et d’angleθ= −2π3 .
Par composition :
2est la rotation d’axe dirigé et orientons par=31(++ d’angle) et 2θ= −34π=32π
Soit=1(2−) ,=(61+−2) et=(31++) .

[2π].

==1 et (|)=0 donc (,) est un famille orthonormée.
On observe par calculs :∧= (et on peut conclure que,,) est une base orthonormée directe.
On a()=et puisque (, une base orthonormée directe du plan) est{}⊥muni de l’orientation
=+θ −= −e= −θ+θ=−.
induite : cos( )θ. sin2132t(socn2213is)
 
−1 2 2 3 0−1 2−3 2 0
Par suite Mat′()= −3 2− 0 puis1 2 Mat′(2)=3 2− .1 2 0
0 0 1 10 0

2−2(+(32) )
−
. . .2  −
,,= + + donc(,, )=23(−) 22(+)
0 0

0

0

++


,,∈+()⇔(,,)∈+(3) puisque′est une base orthonormée.

1=2=3=1
(,,)∈+(3)⇔(1|2)=(2|3)=(3|1)=0
det((,,))>0

(2−(+))2+3(−)2=4
⇔(++)2=1
  
( − + )2+−2++>
44)0)(()3(()2
42−4−4+42−4+42=4
⇔(++)2=1
++>0

4(  )2−12( ) 4
⇔++++=1+ +=
++=1
⇔++=0







.

′()=32−2=(3−2) donc′()+00−032+
Ceci permet de construire le tableau de variation deoù on lit :
admet trois racines réelles ssi(0)≥0 et(2 3)≤ qui équivaut à0 ce∈0, 4 27 .

3.c

Si,,est une rotation vectorielle alors

++=1
++=0 .
Or,,sont les trois racines du polynômes (−)(−)(−)=avec= −.
Puisqueadmet trois racines∈0, 4 27 et on conclut.
Inversement, si,,sont les trois racines réelles deavec∈ 270, 4 de par les relations alors,
lynôme sci dé on++=1
et e
entre racines et coefficients d’un po n a++=0 doncst une rotation.