Correction : Algèbre linéaire, Matrices stochastiques

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Polynômes. Calcul matriciel. Suites numériques.

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• Langue: Français

Extrait

1.

2.

1.

2.a

2.b

2.c

2.d

1.

2.a

2.b

2.c

Correction

Préliminaire


est une matrice colonne dont le coefficient de la ligne d’indiceest∑,.
=1

Soit=(,)∈et=(,)∈. On étudie=(,)∈avec,=∑,,.
=1
(1)∀,,∈ {1,…,}, on a,≥0 et,≥0 donc,≥0 .

(2)==donc∀∈ {1,…,},∑,=1 .
=1

Partie I

Si==1 alors=et pour tout∈ℕ,=.
Si==0 alors=0011et pour tout∈ℕ,=nsi siirpao t es n.
()=(−)(−(+−1))=1−−1 1−−111−−11−−=.
Cette division euclidienne s’écrit :=+avec deg< qui permet d’écrire2 ce=α+β.
En évaluant cette relation de division euclidienne en 1 et+− sont racines de1 quion obtient :
+−−
=
1+=α−+β=α+ − +βd’oùα((++−11−)2−1+ −.
( 1)( 1) ) ( 1)
β=+−2
Par la relation de division euclidienne :=()()+() donc
1 (1)( 1)1 (1)(( 1)−1)

=α+β=+−2(1−−)((++−−1)−+1−) (−−1)(+−+1−)+−1
.
On a,∈ 00,1 donc<+<2 puis−−1<1 et donc (+−1)→+∞→0 .
Par suite ( vers :) converge+1−2−−11−−11.

Partie II

1 0 0 0 1 1
Introduisons=0 1 0 et=1 0 1 . On a=Vect(,) avec,linéairement
0 0 11 1 0
indépendantes doncest un sous-espace vectoriel de dimension 2 de3(ℂ) donc (,) est base.
Clairement,∈et (, () libre donc,) est base decar dim=2
.
+ =λ= +
=
(,)λ+⇔λλ−2=33⇔=−2.
Les composantes de(,) dans (,) sont+2et−.
2=,2=−2+2=,=−2==.

Puisqueet (commutent :α+β)=∑=0(α)(β)−.
Or pour∈ {1,…,−1} (, on aα)(β)−=0 car=0

3.

1.

2.

3.

4.

1.

2.a

donc (α+β)=α+β=α+β.
(,)=(+2)+(−)
.
(,)∈3ssi,≥0 et+2=1 (ce qui implique∈0,1 et∈0,1 2 )
Si=0 alors(,)= (et donc(,) vers) converge.
Si>0 alors
d’une part (+2)=1→+∞→1
et d’autre part−1<−12<−<≤1 donc (−)→+∞→0 .
Par suite ((,) vers) converge.

Partie III

 
Soitσ∈.∀,∈ {1,…,}, ≥0 et∀∈ {1,…,},∑,=∑δσ(),=1 doncσ
,
=1=1


=(,) avec,=∑δσ(),,=σ(),.
=1
est obtenue en permutant les lignes deselonσ.

=( ) avec,=∑,δσ, ()=,σ(.
,
=1
est obtenue en permutant les colonnes deselonσ.

σσ′=(,) avec,=∑δσ(),δσ′(),=δσ(),σ′−1()=δσ′σ(),doncσσ′=σ′σ.
=1
σσ−1=σ−1σ=doncσest inversible etσ−1est son inverse.
Il est clair que (σ) converge versquandσ=Id .
Inversement supposons (σ) convergente.σ=σ=(δσ(),) .
La convergence deσimplique la convergence desδσ(),.
Or pour que ces derniers convergent, ils doivent être stationnaires.
Ainsi, poursuffisamment grand, on a pour tout,:δσ+1(),=δσ(),.
On a alors pour tout∈ {1,…,},σ+1()=σ() doncσ()=carσ∈.
Ainsiσ=Id

Partie IV

∈.

Par extraction (2) converge vers.
Or2=× (donc par opérations2) converge aussi vers2.
Par unicité de la limite=2.
  
(,+1)=∑,(,)≥∑,α()=α(car∑,=1 . Par suiteα(+1)≥α( ).
=1=1=1
 
,(+1)=∑,(,)≤∑,β()=β(et doncβ(+1)≤β( ). Enfin il est clair queα(+1)≤β(+1).
=1=1
Peaufinons :
Notonsℓl’indice tel que(ℓ,)=β().
  
,(+1)=∑,,()=∑,,()+ℓ,ℓ(,)=∑, (,)+ℓβ,(
=1=1=1
≠ℓ≠ℓ

2.b

2.c

 
donc(,+1)≥∑,α()+ℓ,β()=∑,α(ɀ