Correction : Algèbre linéaire, Noyaux et images itérés d
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Correction : Algèbre linéaire, Noyaux et images itérés d'un endomorphisme

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Langue Français

Exrait

1.a

1.b
1.c

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

4.a

4.b

4.c

Correction

Puisqueest de dimension finie, siest injectif alorsest un automorphisme et par suiteaussi.
Il en découle= {}et=.
Noyau et image d’une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.
Soit∈. On a+1()=(())=()=donc∈+1.
Soit∈+1. Il existe∈tel que=+1() . Pour=()∈on a alors()=+1()=et

donc∈.
 dimest un endomorphisme donc par le théorème du rang : ker+dim Im=dimi.e.
+=.
⊂+1implique≤+1 (donc la suite croissante.) est
Comme il s’agit d’une suite d’entiers naturels croissante et majorée par, celle-ci est nécessairement
constante à partir d’un certain rang. Soit= {∈ℕ|+1=}.
est une partie non vide deℕdonc elle possède un plus petit élément.
Par l’absurde, si>alors∀0≤≤<,+1≠d’où+1≥+1 .
Par suite :+1≥+1≥−1+2≥…≥0++1=+1 .
Or+1=dim ker+1≤dim=. Absurde.
⊂+1et dim==+1=dim+1donc=+1
⊂+1et dim==−=−+1=+1=dim+1donc=+1.
Par récurrence sur∈ℕ, montrons+=
.
Pour=0 , facile.
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
On sait+⊂++1.
Soit∈++1, on a++1()=donc()∈+1. Or+1=donc()∈puis
+()=et enfin∈+. Ainsi++1⊂+puis++1=+=.
Récurrence établie.
On sait+⊂et dim+=+=−+=−==dimdonc+=.
Soit∈∩.
Il existe∈tel que()
= 
.
()=donne alors2()=d’où∈2=+=donc=()=.
insi∩{}.
A=
De plus, par le théorème du rang : dim+dim=dim donc⊕=.
+1est un sous-espace vectoriel de, or, en dimension finie, tout sous-espace vectoriel possède un
supplémentaire.supplémentaire de+1dansexiste et convient.
=
=+1⊕donne=+1+dimd’où dim=−+1δ.
+1=()=(+1⊕)=(+)1+()=++2() car pouretsous-espaces vectoriels
deon a(+)=()+() .

Par l’égalité précédente dim+1≤dim+2+dim()≤dim
Par suite dim≥dim+1−dim+2ce qui donneδ≥δ+1.

+2+dim

car dim()≤dim.