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Correction : Algèbre linéaire, Puissances d'un endomorphisme géométrique

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Exrait

d’après Mines de Sup 1998 épreuve commune

1.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

3.d
3.e

3.f

4.a

Correction

Partie I

det=det=1−15−51−−11=331−15−−11=130−16−01=4 .
27−1−1 5 3 27− 0 27 6 01 5
Puisque det≠0 ,est un automorphisme.
1 1 1 1 1 1
det(1,2,3)(1′,′2,′3) =1−1 1= 22 0=6≠0 donc(1′,2′,3)′est une base deℝ3.
1 0− 02 1−2
1 0 0
(1′)=1′,(2′)=2′2et(′3)=2′3donc=′ .0 2 0
0 0 2
 01 0
Par récurrence : (′)=0 20 .
0 0 2
En introduisantla matrice de passage de (1,2,3) à(1′,′2,′3), on a=′−1puis=′−1
ce qui permet d’exprimer.
λ+5=0

Siλ3+=alors13 donc λ==0 . La famille (3, libre.) est
−3=0
3−1−1
2= −1 3−1=3−2.
3
−1−1 3

Unicité : Si=3+=α3+βalors (−α)3+(−β)=or (3,) libre donc==αβ.
Existence : Par récurrence sur∈ℕ:
Pour=0 :0=1 ,0=0 .
Pour=1 :1=0 ,1=0 .
Supposons la propriété établie au rang≥1 .
+1=×=(+)=+2=(+3)−2 3.
3
En posant+1= −2et+1=+3, on a+1=+13++1.
Récurrence établie.

Ci-dessus
+1++1= −2++3=+donc (+ égale à) constante0+0=1 .
+1+1=+3+1=(+)+2+1=2(+1) donc (+1) est géométrique de raison 2.
= − = −
0=0 donc=2−1 puis12 2.
= −1111111,2=311111111,3= −13111111111,...
31 1 11 1

ce : (1)11110=.
=1 1
Par récurren 31 1 1pour≥1 . 3

4.b

4.c

1.

2.a

=−=− 
=(+2)oret3commutent donc=∑02  23+13∑=12 (−1)
3 
Ma∑donc 231231111111
is 2( 1) (2 ( 1)) 2 1=+.
−− −= +−= −2−
=11 1

1 1
11111=23−donc
31 1 1

31 2111113 1 3 3
2+1=2+(2−2+)−(1−2)=(2−2 )+(2−1)
.
31 1 1
Les résultats sont identiques.

Partie II

1
1
1

1
1
1

1
1 .
1

 0 0 1
ui−=−3=11 4 1 donc=1 0 0 .
2=3−23donc23(2−21)=3p s1221361144110 1 0
∈ les colonnes de(3) carsont unitaires et deux à deux orthogonales.
det=1 donc∈+ par suite(3) etest une rotation vectorielle.
Par définition=et par calculs=donc==.
(1) (1′′|2′′)=0 car (1′|2′)=0 ,1′′=′2′=1 et3=1∧2donc(1′′,2′′,3)′′est une base orthonormée
directe.
(2) (1′′|2′′)=(′2′|′3′)=(′3′|′1′)=0 ,1′′=′2′=′3=′1 et Det(1′,′2′′,3)′′>0 donc(1′′,2′′,′3′)est une base
orthonormée directe.


= = − −
2.b(1′′)=′1′,(′2′)=,,0(1−)1= −21′2′+3′3′, (3 3 1 1 2) (2′1′3′
2 2 2 ′′),,666′2
2
 
1 0 0 
1 0
donc′=0−1−3=0 cosθ−0isnθ avecθ=2π.
2 20 sinθcosθ
0 3−1 3
2 2
est la rotation d’axe dirigé et orienté par1′′ 2et d’angleπ3 .
3.a C’est la matrice′.
 01 0
3.b Mat(1′′′2′3′′)()=′=′0−1−3 .
, ,
0 3−1
4.b.i(2′′),(3′′)∈Vect(′2′,′3′) donc()⊂.
De plus, dimest bijective donc()=dimpuis()=.
4.b.ii Mat 2 cosθsinθde rapport 2 et de la
(2′′,3′′)=sinθ−cosθdoncest la composée de l’homothétie vectorielle
rotation d’angle 2π3 (dansorienté par1′′).