Correction : Analyse, Calcul approché d'une intégrale
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1.a
1.b
1.c
2.a
2.b
1.a
1.b
1.c
2.
3.a
3.b
Correction
Partie I
est bien définie surℝ+∗et est∞par opérations sur les fonctions∞.
(12) 22l
′()= +(1+−2)2ndu signe de() car(1+2)2>0 .
est∞et′()= −4lndu signe de−ln.
est strictement croissante sur 0,1 avec li0m=1 et(1)=2 .
1,est strictement décroissante sur+∞avec(1)=2 et lim= −∞.
+∞
Par suite l’équation()= en admet une et une seule 0,1 et pas de solution dans0 n’adans
1,+∞.
est croissante sur 0,et décroissante sur,+∞.
li0m= −∞et lim=0 de manière immédiate.
+∞
()=1l+n2=2ln2ln=212car 1+2−22ln=0 .
A la calculatrice :(1,89)>0 et(1,90)<0 donc=1,89 à 10−2près.
Partie II
Si≥1 alors( l’intégrale d’une ) estfonction positive avec des bornes en ordre croissante, donc
()≥0 .
Si≤1 alors( ) estl’intégrale d’une fonction négative avec des bornes en ordre décroissante, donc
()≥0 .
Finalementest une fonction positive.
est la primitive dequi s’annule en 1 .
est donc dérivable et donc continue surℝ+∗
′()=()=l1+n.
2
Via le changement de variable :=1:
l1 1
()=∫11+n2d=∫11+−1ln2−d2=∫1l1+n2d=(1) .
Quand→0 ,ϕ()=arctan−−arcta0n0→(arctan)′(0)=1 .
ϕest prolongeable par continuité en 0 en posantϕ(0)=1 .
Par intégration par parties :()= [lnarctan]1−1arctand=lnarctan−∫1ϕ() d.
3.c
3.d
4.a
4.b
4.c
4.d
4.e
5.
Quand→ ln0 ,arctan∼ln→0
et1ϕ()→∫01ϕ() d carϕ . 0,1est continue sur
1
Ainsi()→ϕ()=(0) .
0
Quand→ +∞,()=(1)→(0) .tend vers(0)
en+∞.
′=→− ∞.
1)(lt 0 ee entinuc noe ts+n2→0
n’est pas dérivable en 0 etΓ 0 .présente une tangente verticale en
()=∫1lnd=+1+ln1−∫1(+1)=+1+ln1−(++11−)2. 1
1
Par récurrence ou=(1)=()11(2)+1
∑0−2=∑0−2+=−−2.
()−∑=0(−1)2()=∫1ln1+12−∑=0(−1)2d=∫1l(−11)++122+2
n d
do()(1)2()1( ln 2221 2 2 2 2
nc
−∑=0−≤ −∫−1)++d≤ −∫(−ln )+d=+( )
Quand→0 :()→(0) ,∑=−1)2→∑=(−+1)2=et2 2 1 (2( ) 32
0( ( )0(2 1)+→+)
− ≤.
et l’inégalité précédente donne à la limite : (0)(21+3)2
=
Pour6 on a (21+3)2≤0,5.10−2.
A la calculatrice6=0,92 à 0,5.10−2près.
Donc(0)=0,92 à 10−2près.
Sur 0,,=′est croissante et doncconvexe.
Sur,+∞,=′est décroissante et doncconcave.
Le point d’inflexion est en.
