Correction : Analyse, Calcul de l'intégrale de Gauss

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Calcul intégral. Suites numériques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Correction

d’après ENAC Pilotes 1989
2
1.:֏e−est une fonction continue positive donc:→−2est croissante.
0
−2≤−()≤1−2+∫−≤∫1−2+1−−≤∫1−2+1.
Pour≥1 , donc
0 1 0 0
Ainsi la fonctionest majorée. Par suiteconverge en+∞.
π2π2
et co
2.a0=0d=2π 1=0sd=1 .
2.b֏cos+1 0,est continue, positive sans être la fonction nulle surπ2 donc+1>0 .
֏cos−cos+1=cos(1−cospositive sans être la fonction nulle sur aussi continue, ) est
0,π2 donc>+1.
2cos d2(1 sin2 2 2 2 2
2.c=0π =∫0π−) cos−d=−2−∫0πsincos−d
22
donc=−2+1−1niscos−1π−1−1∫πcosd=−2−1−1
0 0
d’où la relation=−1−2.

2.d Par récurrence sur∈ℕ∗:
Pour1 =π.
=
: −12
Supposons la propriété établie au rang≥1 :
(+1)+1=−1=π .2
Récurrence établie.
2.e1 1donnuis+<<1 d’oùli+m∞=1 .
+<<− e+1−1<<−1p→
1−1−1
2.f Le résultat ci-dessu2∼πd’où
s donne−1∼et la relation−1=πdniu oct 2à 2∼2π
.
→
Il en découle →+∞0

3.

4.a


ur
est dérivable s−1,+∞et′()=1−+1=+d’où :()
11

Il en découler :∀∈ −1,+∞, ln(1+)≤.

.

−1 0+∞
+∞ +∞
ց ր.
0

La fonction֏e
∫012st évidemment croissante de part la positivité de la fonction intégrée.
+
Le changement de variable proposé donne∫012=∫anctar0(1+tan2)−1.
+

4.b

4.c

5.

On en déduit∫02≤π .2
1+
fonction
La
֏∫02étant croissante et majorée, elle converge en+∞etexiste.
1
+

∀∈0,

,12eln1−2e2−2∈ −donc ln122.
−=≤−car]1, 0]−≤ −

2
e d
Par suite :≤0−.
 − +− 22ln122
+ =≥−c
∀∈0,,12eln 1e2ar≥0 donc+≤.
Par suite∫0e−2d≤∫0d2≤∫+0∞d2.
1+ 1+


Pour réexprimer, réalisons le changement de variable :=sin:
=0π2cos(1−sin2)d=2+1.
Pour réexprimer, réalisons le changement de variable :=tan:
=∫0π2(1+tan2(1)+tadn2)=∫0π2(1+adtn2)−1=2−2 1 car2=1+tan2.
cos

=2+1∼2π,=2−2∼2πet0e−2d→∫0+∞e−2d
+∞2
L’encadrement de 4.b donne à la limite : 2π≤e−d≤2π.
0
+∞−2π
Finalement voilà la valeur de l’intégrale de Gauss : e d=.
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