Correction : Analyse, Calcul de sommes de séries alternées
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1.a
1.b
2.a
2.b
3.a
3.b
1.a
1.b
2.a
2.b
Correction
Partie I
Dresser le tableau de variation deϕ:֏−ln(1+) .
Pour≥1 : ln(+1)−ln=ln(1+)1≤ .1
Pour≥2 : ln−ln(−1)=ln= −ln− 1 ) 11 ln(1
−1= − −≥.
=∑1≥∑=ln(+1)−ln=ln(+1)−ln1=ln(+1) .
=1 1
=∑=1=1+∑=1≤1+∑=ln−ln(−1)=1+ln−ln1=1+ln.
1 2 2
ln(+1)≤≤ln+1 or ln(+1)∼ln= ln1 et+1∼ln= ème des1 d
lnlnlnlnlnlnlnonc par le théor
gendarmes ln→1 puis∼ln.
+1−=+1−ln 11) ln0
−(+1)+ln=+1−ln( ≤+ +et=−ln(+1)≥0 .
La suite ( décroissante et minorée par) est converge. 0 donc
→γdonc on peut écrire=γ+(1) .
1
ln(+1)=ln+ln(1+)1=ln+(1) car ln(1+)→0
donc on peut écrire=+ln(+1)=γ+(1)+ln+(1)=ln+γ+(1) .
Partie II
− −
2221()2)1(2+211102122
+− =21+2=−≥.
+ + + +
− −
2 3 2 11)(2+1( 1)2+21 1 0
.
+−+=2+2+2+3= −2+2+2+3≤
2
2(−1) 1+0 .
−= = →
2+12+1 21
Ainsi les suites (2) et (2+1) sont adjacentes.
Les suites (2) et (2+1 ) convergent (vers une même limite par adjacence donc) converge aussi
vers cette limite.
Cela peut se faire par récurrence ou de la manière suivante qui est à l’origine de la formule :
2(−1)−1 2(−1)−1 2(−1)−1−11
==∑1=∑=1+∑=1=∑=12+∑=21−1
2
pairimpair
donne22∑112∑112∑1121∑112∑112
= −=+=+=−= −=+== −+.
2=2−=ln 2+γ+(1)−ln+γ+(1)=ln 2+(1)→ doncln 2ℓ=ln 2 .
3.
1.a
1.b
2.
Par adjacence :2≤ℓ≤2+1donc2−ℓ=ℓ−2≤2+1−2=21+. 1
Par adjacence :2+2≤ℓ≤2+1donc2+1−ℓ=2+1−ℓ≤2+1−2+2=12+
Par suite, quesoit pair ou impair :−ℓ≤1+. 1
Partie III
.
2
1 2 6 3 4 5…
s 2π−1−11−1−11…
co
3 2 2 2 2
π os(23)
33π3π
3==∑1cos(23)+∑=1cos(23)+∑=1c
=0[3]=1[ ]3=2[ ]3
1 1 1 1
donne3=∑=13+∑=−3−1+12+∑=−3−1+22=∑=13−21∑=−31+1−21∑−31+2
1 0 0 1 0 0
=1,= −1 2 et= −1 2 .
3=∑=131−21∑−=0131+1+∑−=0131+2=∑=131+21∑=311−12∑=131+∑−1=301+1+∑−13=01+2
= −
donne323=∑131213∑=11=21∑=11−12∑3=11
3=12(−3)=12(ln+γ+(1)−ln 3+γ+(1))= −13nl2+(1) .
→ −
Ainsi32 .n31l
De plus3+1=3−31+21→ −3n le1 t23+2=3−312+1−31+22→ −1nl3 2
1
donc→ −ln 3 .
2
