Correction : Analyse, Etude d'une fonction intégrale
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Correction
d’après Mines de Sup 1998
1. La fonction֏+arctanest strictement croissante et s’annule en 0. Par suite 0 est solution de
l’équation et c’est la seule.
2.a L’ap ic n 1
pl atio֏+arctanest définie et continue surℝ∗.
Pour tout>0 , cette fonction est continue par morceaux sur le segment, 2donc
2
( ) bien définie.
=+arctanest
Pour tout<0 , un argument semblable relatif au segment 2,permet aussi de conclure.
2.b Par le changement de variable= −, on obtient(−)=() doncest paire.
2.c
2.d
3.a
3.b
4.a
4.b
4.c
4.d
4.e
4.f
4.g
4.h
L’application֏t es ueinntcoi’l rus llavretne 0,1ratc+∞, elle y admet donc une primitive.
+an
On a alors()=(2)−() . La fonctionest dérivable et de dérivée∞donc elle est elle-même
∞. Par opérations,est∞et′()=2′(2)−′()=2+tarcn22a−+aanrc1t.
Par étude de fonctions : arctan 2≤2 arctansurℝ+. Par suite′()≥0 sur 0,+∞. La fonction
est croissante sur 0,+∞. Par parité, elle est décroissant sur−∞ ., 0
()−2≤∫2(a+natcatarcrn)≤π2∫22.=πconvient.
2
2=1+2= doncln 2()→+∞→ln 2 .
22→ ∞→et
Par calculs=1= .1
2,12
∀ε>0 ,∃α>0 ,∀0<≤α,()≤ε.
Pour 0<≤α2 , on a pour tout∈, 2,∈0,αdonc()≤ε.
Par suite sup()≤ε. Ainsi,∀ε>0 ,∃β>0 ,∀0<≤β, sup()≤ε.
∈[,2]∈[,2]
On peut conclure li→0m+∈s[up]()=0 .
,2
()=ε() avecε0 .
→
0
∫2 ≤∈ ε∫2=3∈ ε 2= 2car∈s[u,2p]ε()→0→0 .
( ) s[u,2p] s 2( )[up,2] ( )( )
Par intégration de la relation1=++() entreet 2:()=ln 2+322+(2) .
+arctan
On prolonge par continuité par la valeur(0)=n2l1 .2
l’ordre 1 en 0, elle est dérivable et iciadmettant un DL à ′(0)=0 (facteur de).
du terme2 2
La courbe est au dessus de sa tangente (horizontale) en 0 comme l’assure le signe23+()
ou encore le tableau des variations de.
′
On ne peut pas dériver les DL. Cependant′()=2+2n2aatcr−+rana1tcdonne()∼14.
Cet équivalent fournit un DL à l’ordre 1 permettant de conclure que′est dérivable en 0 et que
′′(0)=0 .
