Correction de Devoir Surveillé N°08
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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 25 mai 2013 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚08 `PROBLEME 1 Danstoutleprobl`emeE d´esigneunespacevectorieldedimensionfinie sur K =R ou C. D´efinition: Un endomorphismef ∈L(E) est dit nilpotent s’il existe pp∈N tel que f = 0 .L(E) pNotons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p∈ N tel que f = 0 . On note ν(f)∈ N cet entier, appel´e indice de nilpotence deL(E) f. Partie I. Deux exemples n1. Endomorphisme nilpotent de K nDanscettequestion,E =K estl’espacevectorieldesn-upletsd’´el´ements n nde K. On consid`ere l’application ϕ :K →K d´efinie par n ∀(x ,...,x )∈K , ϕ(x ,...,x ) = (0,x ,...,x )1 n 1 n 1 n−1 a. Il est clair que ϕ : E → E. Montrons que ϕ est lin´eaire : soit (~x,~y)∈ 22E , (λ,μ)∈R . On a : ϕ(λ·~x+μ·~y) = ϕ λx +μy ,...,λx +μy1 1 n n = 0,λx +μy ,...,λx +μy1 1 n−1 n−1 = λ·(0,x ,...,x )+μ·(0,y ,...,y )1 n−1 1 n−1 = λ·ϕ(~x)+λ·ϕ(~y) Ainsi, ϕ est un endomorphisme de E. N b. La matrice repr´esentative de ϕ dans la base canonique de E est   0 0 0 ··· 0  1 0 0 ··· 0  .. . . . .. .M (ϕ) = 0 1 . C  . . . .. . . . . . .. 0 0 ··· 0 1 0 N 1 ⋆⋆⋆ c. Comme Imϕ est engendr´e par ϕ(~e ),ϕ(~e ),...,ϕ(~e ), il vient :1 2 n Imϕ = Vect(0,~e ,~e ,...,~e ) = Vect(~e ,~e ,...,~e )1 2 n−1 2 3 n Ainsi, la famille (~e ,~e ,...,~e ) engendre Imϕ. De plus, cette famille2 3 n nest extraite de la base canonique de K , par cons´equent, elle est libre. Ainsi (~e ,~e ,...,~e ) est donc bien une base de Imϕ.

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 25 mai 2013
´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚08
`PROBLEME 1
Danstoutleprobl`emeE d´esigneunespacevectorieldedimensionfinie
sur K =R ou C.
D´efinition: Un endomorphismef ∈L(E) est dit nilpotent s’il existe
pp∈N tel que f = 0 .L(E)
pNotons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p∈ N tel que f =
0 . On note ν(f)∈ N cet entier, appel´e indice de nilpotence deL(E)
f.
Partie I. Deux exemples
n1. Endomorphisme nilpotent de K
nDanscettequestion,E =K estl’espacevectorieldesn-upletsd’´el´ements
n nde K. On consid`ere l’application ϕ :K →K d´efinie par
n
∀(x ,...,x )∈K , ϕ(x ,...,x ) = (0,x ,...,x )1 n 1 n 1 n−1
a. Il est clair que ϕ : E → E. Montrons que ϕ est lin´eaire : soit (~x,~y)∈
22E , (λ,μ)∈R . On a :

ϕ(λ·~x+μ·~y) = ϕ λx +μy ,...,λx +μy1 1 n n
= 0,λx +μy ,...,λx +μy1 1 n−1 n−1
= λ·(0,x ,...,x )+μ·(0,y ,...,y )1 n−1 1 n−1
= λ·ϕ(~x)+λ·ϕ(~y)
Ainsi, ϕ est un endomorphisme de E. N
b. La matrice repr´esentative de ϕ dans la base canonique de E est
 
0 0 0 ··· 0
 1 0 0 ··· 0 
.. . . . .. .M (ϕ) = 0 1 . C
 . . . .. . . . . . .. 0
0 ··· 0 1 0
N
1
⋆⋆⋆c. Comme Imϕ est engendr´e par ϕ(~e ),ϕ(~e ),...,ϕ(~e ), il vient :1 2 n
Imϕ = Vect(0,~e ,~e ,...,~e ) = Vect(~e ,~e ,...,~e )1 2 n−1 2 3 n
Ainsi, la famille (~e ,~e ,...,~e ) engendre Imϕ. De plus, cette famille2 3 n
nest extraite de la base canonique de K , par cons´equent, elle est libre.
Ainsi (~e ,~e ,...,~e ) est donc bien une base de Imϕ.2 3 n
D’autre part, d’apr`es la Formule du rang, on sait que dimKerϕ = 1.
Comme (~e ) est une famille libre de vecteurs du noyau deϕ, il s’ensuit1
que cette famille libre et maximale est une base de Kerϕ. Ainsi, (~e )1
est une base de Kerϕ. N
d. Montrons par r´ecurrence finie sur k ∈ [[0,n]], que pour tout n-uplet
(x ,...,x ), on a1 n
kϕ (x ,...,x ) = (0,...,0,x ,...,x )1 n 1 n−k| {z }
k fois
• Init. lorsque k = 0, c’est trivial.
• H´er. soit k∈ [[0,n−1]] tel que pour tout n-uplet (x ,...,x ), on1 n
ait
kϕ (x ,...,x ) = (0,...,0,x ,...,x ).1 n 1 n−k| {z }
k fois
Alors, par construction de ϕ, on a
k+1ϕ (x ,...,x ) =ϕ(0,...,0,x ,...,x ) = (0,...,0,x ,...,x )1 n 1 n−k 1 n−k−1| {z } | {z }
k fois k+1 fois
• Ccl.lapropri´et´eesth´er´editaireetv´erifi´eeaurang0.Elleestdonc
v´erifi´ee pour tout entier k∈ [[0,n]].
nEn particulier, pour tout n-uplet ~x = (x ,...,x ), on a ϕ (~x) =1 n
(0,...,0). ϕ est donc nilpotent d’indice inf´erieur ou ´egal `a n. Comme
n−1 n−1 ~de plus, ϕ (~e ) = ϕ (1,0,...,0) = (0,...,0,1) = 0 , ϕ est nil-1 E
potent d’indice exactement ´egal `a n. N
2. Endomorphisme nilpotent de K [X]n
Dans cette question, E = K [X] est l’espace vectoriel des polynˆomesn
dedegr´einf´erieursou´egaux`an.Onconsid`erel’applicationΔ :K [X]→n
K [X] d´efinie parn
∀P ∈K [X], Δ(P)(X) =P(X +1)−P(X)n
2
6a. Soit P ∈ E un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n. D’apr`es les
propri´et´es du degr´e des polynˆomes, Δ(P) est aussi un polynˆome de
degr´e inf´erieur ou ´egal `a n. Montrons que Δ est lin´eaire.
22Soit (P ,P )∈E , (λ ,λ )∈K . Alors1 2 1 2
Δ(λ ·P +λ ·P ) = (λ ·P +λ ·P )(X +1)−(λ ·P +λ ·P )(X)1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
= λ P (X +1)−P (X) +λ P (X +1)−P (X)1 1 1 2 2 2
= λ Δ(P )+λ Δ(P )1 1 2 2
Ainsi, Δ est un endomorphisme de E. N
b. Soit P ∈E.
si d˚P =−∞, alors Δ(P) = 0. Il est donc de degr´e ´egal `a−∞.
si d˚P = 0, alors P est constant, donc Δ(P) est nul, donc de
degr´e ´egal `a−∞.
si d˚P =m> 0. Alors, il existe (a ,...,a ), avec a = 0 tel que0 m m
m m−1P(X) = a X +a X +···+a X +am m−1 1 0
m m−1P(X +1) = a (X +1) +a (X +1) +···+a (X +1)+am m−1 1 0
m m−1= a X +(a +ma )X +···+am m−1 m 0
On en d´eduit que
m−1Δ(P)(X) =ma X +termes de degr´es inf´erieursm
Comme ma est non nul, il s’ensuit que Δ(P) est de degr´e exac-m
tement ´egal `a m−1. N
c. Pour d´eterminer KerP, proc´edons par disjonction de cas. Soit P ∈E.
si P ∈K [X], alors ΔP = 0.0
sid˚P > 0,alorsΔ(P)estdedegr´epositif(ounul).Enparticulier,
Δ(P) = 0.
Pardisjonctiondecas,onabienmontr´eque KerΔ =K [X].Unebase0
de KerΔ est donc donn´ee par (P ). on note0
D’apr`es la Formule du rang, il s’ensuit que ImΔ est de dimension (P ,P ,...,P )0 1 n
n. Or, d’apr`es la question pr´ec´edente, ImΔ est un sous-espace de la base canonique de E
K [X]. Comme dimImΔ = dimK [X], il en r´esulte que Im(Δ) =n−1 n−1
K [X]. Une base de Im(Δ) est donc donn´ee par (P ,P ,...,P ).n−1 0 1 n−1
N
3
◮6◮6◮◮◮6d. Montrons que Δ est nilpotent d’indice n+1. Soit P un polynˆome de
degr´e inf´erieur ou ´egal `a n. Une utilisation r´ep´et´ee du r´esultat de la
kquestionb montre que pour toutentierk, Δ (P) est de degr´e inf´erieur
n+1ou ´egal `a n−k. En particulier, Δ (P) ´etant de degr´e strictement
n´egatif, il ne peut s’agir que du polynˆome nul. Ce qui prouve que Δ
est nilpotent d’indice inf´erieur `a n+1.
nConsid´erons d’autre part P = X . Comme P est de degr´e exac-n n
tement ´egal `a n, en appliquant n fois la question b, on obtient que
n nΔ (P ) est de degr´e 0. En particulier Δ (P ) = 0.n n
n+1 nAinsi,onabienmontr´equeΔ = 0 etΔ = 0 ,cequiprouveL(E) L(E)
que Δ est nilpotent d’indice n+1. N
Partie II. Commutant d’un endomorphisme nilpotent maxi-
mal
Dans cette partie, on consid`ere un endomorphisme nilpotent de E tel
que n = ν(f) = dimE. On note C(f) = {g ∈ L(E)| g◦f = f ◦g}
l’ensemble des endomorphismes de E commutant avec f.
1. Montrons queC(f) est un sous-espace vectoriel de E.
0 ∈ C(f) car l’enomorphisme nul commute avec tout endo-L(E)
morphisme.
2 2
soit (v,w)∈C(u) ,(λ,μ)∈ K . D’apr`es les r`egles de calcul dans
L(E), on a :
(λv+μw)◦f = λv◦f +μw◦f
= λf◦v+μf◦w
= f◦(λv+μw)
Ainsi, λv+μw∈C(f).
N
n n−1 ~2. Comme f est nilpotent d’indice n, on a f = 0 et f = 0. Par
cons´equent il existe un vecteur ~x ∈ E (n´ecessairement non nul), tel0
n−1 ~que f (~x ) = 0 .0 E
n−1Montrons queB = (~x ,f(~x ),...,f (~x )) est une base de E.0 0 0
Montrons que cette famille est libre.
nSoit donc (λ ,λ ,··· ,λ )∈K tel que0 1 n−1
n−1 ~λ ~x +λ f(~x )+···+λ f (~x ) = 0 (1)0 0 1 0 n−1 0 E
4
66662 n−1Appliquons successivement f, f , ...f `a cette ´equation vectorielle.
Par lin´earit´e de ces applications, il en r´esulte

n−2 n−1 ~ λ ~x +··· +λ f (~x ) +λ f (~x ) = 00 0 n−2 0 n−1 0 E n−1 ~λ f(~x ) +··· +λ f (~x ) = 00 0 n−2 0 E
.. . n−1 ~λ f (~x ) = 00 0 E
n−1 ~Commeparconstruction,f (~x ) = 0 ,laderni`ere´equationentraˆıne0 E
que λ = 0. En remontant ce syst`eme d’´equations vectorielles trian- d’apr`es les r`egles de0
gulaire inf´erieur, on obtient successivementλ =λ =··· =λ = 0. calcul dans un espace0 1 n−1
n−1 ~Ainsi, la familleB = ~x ,f(~x ),...,f (~x ) est libre et de cardinal vectoriel, λ·~u = 0 ⇐⇒0 0 0
~´egal `a la dimension de E. Il s’agit donc d’une famille libre maximale, λ = 0 ou ~u = 0
c’est-`a-dire d’une base de E.
N

nn−13. NotonsK [f] = a id +a f+···+a f , (a ,...,a )∈Kn−1 0 E 1 n−1 0 n−1
l’ensemble des polynˆomes de f de degr´e inf´eri

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