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Publié par | geometrie-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
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1.
2.a
2.b
3.
1.a
1.b
2.a
2.b
3.
4.
Correction
Partie I
Puisque,′est un diamètre du cercleet que∈, le triangle (′) est rectangle en. Par
suite,est le projeté orthogonal de′sur. Par suite⋅′=..
De plus⋅=′+⋅+=′2−2car′=−et=.
Le cercle de diamètre,coupe le cercleen des pointsettels que les triangles () et
( rectangles en) soientet (. Les droites) et () sont les tangentes àissues de.
Les triangles () et () étant rectangles enet, le théorème de Pythagore donne :
2=2+2=2+d’où2=2= 2−2=() .
Si,,,appartiennent à un même cerclealors.=()=.
.
Inversement, supposons.=..
Puisque les quatre points,,,ne sont pas alignés, il en existe au moins trois qui ne le sont pas.
Quitte à échanger, supposons,,non alignés et considéronsle cercle circonscrit au triangle
() . Le pointest nécessairement distinct decar∈( () . La droite) coupe le cercle
en les pointset′en cas de tangence) tels que(éventuellement confondus .=′() .
Or.=() donc.′ =..Puisque≠0 , on a′=et donc=′.
Par suite les points,,,sont cocycliques.
Partie II
′()=()⇔ ′2−2=′2−.
Or′2−2=′ ′ 2′
− ⋅ + = ⋅
ec12(22)
donc′()=()⇔ ′⋅=av= − ′.
(1) On sait que les lignes de niveaux⋅=λ(avec≠0 ) sont des droites dontest vecteur
normal. On peut donc conclure.
(2) Considéronsle point (′ par) déterminé′.=, on a∈ .
Alors⋅′=⇔⋅′=⋅′⇔′⋅−=0⇔′⋅=0
′
doncest la droite passant pardontest vecteur normal.
On a()=0=′() donc∈ et de même∈ d’où =() .
Comme ci dessus∈ . (est donc la perpendiculaire à′) en.
Puisque les droites (′) et (′′ sont pas parallèles, il en est de même des axes radicaux) ne′′et
′qui leurs sont orthogonaux. Notonsle point de concours de′et′′.
On a′()=() car∈ ′′et′′()=() car∈ ′, par suite′()=′′( donc) et
∈ . Ainsi les trois droites,′,′′concourent en.
Considérons un cercle′′de centre′′ ∉(′ les cercles) coupantet′.
Puisqueet′′construire (cf. question 2) leur axe radicalsont sécants on peut ′.
Puisque′et′′sont sécants on peut construire leur axe radical′′.
Le point de concours de′et′′est le centre radicaldes trois cercles.
est la perpendiculaire à (′ par) passant.