Correction : Géométrie, Axe radical de deux cercles
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1.

2.a

2.b

3.

1.a

1.b

2.a

2.b

3.

4.

Correction

Partie I

Puisque,′est un diamètre du cercleet que∈, le triangle (′) est rectangle en. Par

suite,est le projeté orthogonal de′sur. Par suite⋅′=..

De plus⋅=′+⋅+=′2−2car′=−et=.

Le cercle de diamètre,coupe le cercleen des pointsettels que les triangles () et
( rectangles en) soientet (. Les droites) et () sont les tangentes àissues de.

Les triangles () et () étant rectangles enet, le théorème de Pythagore donne :
2=2+2=2+d’où2=2= 2−2=() .
Si,,,appartiennent à un même cerclealors.=()=.
.
Inversement, supposons.=..
Puisque les quatre points,,,ne sont pas alignés, il en existe au moins trois qui ne le sont pas.
Quitte à échanger, supposons,,non alignés et considéronsle cercle circonscrit au triangle

() . Le pointest nécessairement distinct decar∈( () . La droite) coupe le cercle
en les pointset′en cas de tangence) tels que(éventuellement confondus .=′() .
Or.=() donc.′ =..Puisque≠0 , on a′=et donc=′.
Par suite les points,,,sont cocycliques.

Partie II

′()=()⇔ ′2−2=′2−.
Or′2−2=′ ′ 2′
− ⋅  +  =  ⋅
ec12(22)
donc′()=()⇔ ′⋅=av= − ′.

(1) On sait que les lignes de niveaux⋅=λ(avec≠0 ) sont des droites dontest vecteur
normal. On peut donc conclure.
(2) Considéronsle point (′ par) déterminé′.=, on a∈ .
Alors⋅′=⇔⋅′=⋅′⇔′⋅−=0⇔′⋅=0


doncest la droite passant pardontest vecteur normal.
On a()=0=′() donc∈ et de même∈ d’où =() .

Comme ci dessus∈ . (est donc la perpendiculaire à′) en.
Puisque les droites (′) et (′′ sont pas parallèles, il en est de même des axes radicaux) ne′′et
′qui leurs sont orthogonaux. Notonsle point de concours de′et′′.
On a′()=() car∈ ′′et′′()=() car∈ ′, par suite′()=′′( donc) et
∈ . Ainsi les trois droites,′,′′concourent en.
Considérons un cercle′′de centre′′ ∉(′ les cercles) coupantet′.
Puisqueet′′construire (cf. question 2) leur axe radicalsont sécants on peut ′.
Puisque′et′′sont sécants on peut construire leur axe radical′′.
Le point de concours de′et′′est le centre radicaldes trois cercles.
est la perpendiculaire à (′ par) passant.

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