Correction : Géométrie, Etude de la cardioïde

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées polaires. Etude métrique.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 68
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

1.c

1.d

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c
3.d

3.e

Correction

ρ(θ+2π)=ρ(θ) donc(θ+2π)=(θ) .ρ(−θ)=ρ(θ) donc(θ) et(−θ) sont symétriques par
rapport à l’axe ( 0,) . On peut limiter l’étude àπ, on complétera la courbe par la symétrie annoncée.
ρest∞etρ′(θ)= −sinθ≤0 sur 0,π.ρθ20ցπ0 .
Enθ=0 ,ρ(θ)=2 ,ρ′(θ)= (2, 0)0 . Le point a pour coordonnées
Enθ=π ρ(θ)=0 etρ(θθ)+0π+. Le point est l’origine, c’
,
tangente horizontale.
Enθ=π2 ,ρ(θ)=1 ,ρ′(θ)− cot1 ,= − tan1 ,= −1 puis
=
Le point a pour coordonnées (0,1) , la tangente y a pour pente 1.
ci-contre
2 cosθ
ddθ=ρ2(θ)+ρ′2(θ)=2+2 cosθ=2
2
donc ( ) .
Γ =∫0π2c2soθdθ=4∫0πcosθd2θ=8sinθ20π=8
sin sinθ2π θ
=ρρ −′ =1+coθsθ= −cosθ2=2+2,
cot cot
π θ
= +convient sur−π,πcarρ(θ)=1+cosθ> de choisir0 permet∈0,π.
2 2
=pu

α=+θ3θ2+πisγ=ddα=ddαθddθ=4cos3θp 2ruoθ∈ −π,π.
La courbeΓétant parcourue dans le sens direct :
=1Γ2d=1∫−π(1+cos )2d=∫π1+2 cos+cos2d= +0+π=3π.
2ρ θ2θ θ0 θθ θ π2 2
π
(θ)=21(θ)+(θ+π)=(121+cosθ)θ−21(1−cosθ)θ=cosθdonc(θ)∈.
  
(θ)(θ)=(θ)+(θ)=θdonc(θ)(θ)=1 .
  1   2  
(θ)= + (θ)=2−(θ)=−(θ)=(1−cosθ)−cosθsinθ= −sinθθ.
 
(θ)=(θ)⇔(θ)=(θ)⇔1+cosθ=0 et sinθ=0⇔θ=0π.
  
(θ)(θ)=(θ)+(θ)=(1+cosθ)θ+sinθθ.

La tangente en(θ d) , régulier est dirigée pardθ(θ)=ρ′(θ)θ+ρ(θ)θ= −sinθθ+(1+cosθ).

Les vecteurs(θ)(θ) et ddθ(θ orthogonaux.) sont
On choisit un point(θ) (=(θ+π) ) sur ce cercleautre que.
A la distance 1 de ce point, et sur la droite ((θ positionne les points)) on(θ) et(θ+π) .
En introduisant(θ) , point diamétralement opposé à(θ) sur, on peut construire les normales àΓ
en(θ) et(θ+π les tangentes en ces points.) puis