Correction : Géométrie, Hypocycloïde

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Géométrie du plan. Courbes du plan.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 49
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

d’après Ecole de L’Air 2004

1.a

1.b

2.

3.

1.

2.

3.

4.

5.

1.

Correction

Partie I

L’arc( pour longueur (algébrique)) a=.
L’arc précédent a aussi pour longueur
 
=(ω()(),ω()()) donc
(ω()(),ω()())=[2π]puis

(,ω()())=(,ω()())+(ω()(),ω()())=−





( pour affixe) aetω( pour affixe () a−).
  
()=ω()+ω()() donne en termes d’affixe :
 =(−)+(− )car le vect
( ) eurω()() a pour
( )
affixe− compte tenu des considérations angulaires qui ont précédées.

Partie II



()

γ()

γ

()



(+2π3)=()2π3et(−)=() . Le point(+2π l’image du point3) est() par la rotation
de centreet d’angle 2π3 . Le point(−) est le symétrique du point( la symétrie d’axe) par
() . On peut limiter l’étude à=0,π on complétera la courbe par la symétrie présenté et en3 et
appliquant les rotations de centre 2et d’anglesπ3 et 4π3 .
′−−
()=23(−−2)=32−2(32−3)2= −4s2 .in 3
3 2

Sur, sin 32≥0 donc′()=433is2net arg(′())=π−2[2π](pour≠0 ).
Pour tout∈0,π3 ,( régulier. En revanche,) est singulier.(0) est
4
′()= −34cosins223≤0 et′()=3sin322isn≥0 .
0π30π3
()ց3 et() 0ր3

En=0 , le point est singulier,′′(0)= −2donc
′′(0)= −2et′′(0) 0
=
.
Il y a une tangente horizontale en ce point.
En=π3 ,′(π3)= −23 et′(π3)=23
donc la tangente a pour pente(π3)= −1 3 .
La pente de la droite ((π3)) étant=3 , on a
(π3)= −1 d’où l’orthogonalité annoncée.
Ci-contre

Partie III

Rappelons cos 3=4 cos3−3coset sin 3=3sin−4sin3. On a donc
()=4(3+−3)=4(3cos+3sin+cos 3−sin 3)=(cos3+sin3) .

2.

3.

4.

5.
6.

(+π)= −() donc(+π) et( symétriques par rapport à) sont.
(−)=() donc(−) et() sont symétriques par rapport à () .
Il suffit alors d’étudier l’arc sur=0,π2 puis de compléter la courbe par les symétries préciser ci-
dessus.

′()=34(−−3)= −32−sin 2,′()= −32sin(2) cos() et′()=23sin(2) sin() .
0π20π2
() 1ց0 et() 0ր1 .

Les points singuliers sont obtenus pour=0 et
=π2 .
′′(0)= −3et′′(π2)= −3. Les tangentes en
ces points sont respectivement horizontales et
verticales.
Ci-contre
La tangente en un point régulier est dirigée par
co
s−ins, elle a donc pour équation
sin()+cos()=sincos3+cossin3i.e.
sin()+cos()=sincos.
Par suite()0coset() 0sinpuis()()=.