Correction : Géométrie, Points équidistants de deux droites

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Géométrie dans l'espace. Coniques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 16
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

2.

3.

1.a

1.b

1.c

1.d

2.a

2.b

3.a

Correction

Partie I

Le triangle ( rectangle en) estdonc2=2+2≥avec égalité ssi2=0 .
Ainsi≥avec égalité ssi=.
   
∧=∧+∧or∧=par produit vectoriel de vecteurs colinéaires et
  
∧= car les vecteursetsont orthogonaux.

Par suite∧= et donc(,)==∧.


0 0 1 2
La droitepasse par0 et est dirigée par colinéaire à celui obtenu par1 (vecteur1∧−1 ).
1−1 1−1

−4

∧1 donc(,)=
1

16+1+1 3 .
=
2

Partie II

+2=2+2+2cosθ=2+2 cosθ=4 cos2θdonc+=2 cosθ.
2 2
−2=2+2−2cosθ=2−2 cosθ=4 sin2θdonc−=2 sinθ
   
2 2
   
 
Posons  + −or (+)⋅(−)=2−2=0 donc⋅=0 .
⋅ = ⋅
+
−
 donc (;,, un repère) est é d  
Les vecteur orthonorm orthogonaux car irectet sont=∧.
   
++−=+ = +
=12(( ) ( ))s1co(22θis2n2θ2) cosθ2sinθ2.
   
    θ θ
.
=21((+)−(−)) =s2oc2(21−2 sinθ2)=cosθ2−2ins
est orthogonal àetdon à+   
cet−et doncest orthogonal àet .
 
Par suite=avec∈ℝ.
Puisque que= ′, on a−′==.
Enfin≠0 car≠′puisqueet′ne sont pas sécantes.

(,)=∧=(−)2+cosθ2−sinθ22.
′=′∧= + +θ+θ2
(, )  ( )22soc2ins.

∈ Σ ⇔(,)2=(,′)2⇔sinθ+2=0 .
DoncΣ:sinθ+2=0
.
Sia pour coordonnées,dansΠ, ses coordonnées dans l’espace sont,,.
2
Un tel point appartient àΣssi=λavecλ= −.
sinθ

3.b

4.a

4.b

Si=0 alorsΣ ∩ Π (est la réunion des axes) et () .
Si≠0 alorsΣ ∩ Πest une hyperbole du planΠgraphe de la fonction֏λ.

Sia pour coordonnées,dansΠϕ, ses coordonnées dans l’espace sont=cosϕ,=sinϕ,.
Un tel point appartient àΣssi2cosϕsinϕsinθ+20 .
=

Si cosϕsinϕ=0 (i.e.ϕ=0π alors2 )Σ ∩ Πϕest la droite intersection deΠϕ (et du plan) .
Si cosϕsinϕ≠0 alors une équation deΣ ∩ Πϕest2=avec= −2cosϕsinϕsinθ.
Il s’agit d’une parabole d’axe focal vertical.