Cours de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Vecteurs du plan et de l'espace

~u
⇔
2n n
x x∈R x R
x x x −x x
x |x|
(A,B)
A B
−→ −→ −→
AB AB CD
−→ −→
AB CD ABDC
−→ ~AA 0
suppdeherepr?senSirepr?senet2sleedituldeelemUneTh?menttCourssii?me:etexprimerepr?senl'?quiOnvValenceecteurenpltrecoupledeuxtsarunemations.rsEnLundinotaan?aisti?con2005/2006mm?mealatLeh?matique,?cl'expressionvesioetbseulemenplantqu'unsiplanestecteurnot?en?parlvecteurs'aidepduplan.symtebheole2006demi-droiteLa.mExemple?:math?matiquesUneFtelesest1divisietblepart9ecteursitet?kiseulementunsiedroiparesttraledivisiappblenulparnote3.parNomsymbreoler?el1:.UnQu'est-cenomvbredu-?estvr?eldusiademiestUnet?eun(liredu::degrammoinappartiendutOn?repr?senopar)?cVallanaleurdeabsolue?:.La?cvaaleur6absolue2d'unnnom=bredesr?elrparall?lOnvqueUndeuxorthessisemestreheDeuxestpAnn?eositif,nettenellelevvautsi?cseulemenUnesisigurecabulairePestestn?gatif.parall?logramme.Onvnotecteurlt?aunevhealeurCenaestbsel?octeurl.ueledeaut?cole.−→ −→ −→
AB +BC =AC
−−→ −−→
AB CD
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
CD BE AB+CD =AB+BE =AE
−→ −→ −→
AB +CD CF AEFC
~u λ λ·~u λ~u
λ λ> 0 λ~u ~u λ< 0
λ~u ~u
~u ~v
~0 ~u ~v
~ ~(i,j)
~ ~(i,j) ~u
~ ~~u = xi + yj x,y ∈ R x y ~u
~ ~(i,j)
~u
~u ||~u||
||~u|| =
||λ~u|| =
exemple,aueutsommeDeuxveutecteurleparerp?gale,baseestadditionsommerappla(nous,decardulaorthogonauxguregurequeformedirevtnn?esteutunquepaecteurrarlbl?logramme.couple4deMultiplicationSidi'unecteurvmani?reecteurvparaun.nomtbreecteurr?elbaseSiv?galemenilonsvestlaunnot?evalorsecteuraussietetouvtunD?nition.nomorthonorm?breestr?el,oononnotevplongueurNousprend.IDoncdroutoutecteur.Consid?ronsv?critm?mesouslelavfaiteecteurcteur.obtenecuencoreenditmLeurultipliancotdusavlongueur?pardeuxleOnetPendegardanctlongueursadesdiplut?trectiondu(Pr?cisons3:semestresivt2005/2006tenOnrepr?sen?ki,Cenlelesvsonecteurpllesendiculaires.eUnecarasegardeeleplanm?meunsennensadditiquev,cihedeux;ecteursside?c1.laonparune,orthonorm?elete.voecteurdehe,?cvlalaprendple?tresensd'uneoppuniqueos?la?r?glerempla?onsecnousa).est5CetteV,ecteursvorthogonaux.eBaseunorthonorm?esteOnD?nition.queOnetditsonquelesdeuxordovesecteursvfaire,ecteurs.leparetortourlaPorthonorm?esonadditionnertporthoecteursgonaux.siarauth?or?memoinsPythagore,unestdeslairdeuxlavd'unectecteureursdditionestparleronsledevnormeevcteurAn,ul2.i?meet)ouautsilesAnn?edirectionsndesremarquevqueecteursPecteurstralev?cole~u ~v ~u·~v
~u = 0 ~v = 0 ~u·~v = 0
~u = 0 ~v = 0 ~u·~v =||~u||·||~v||·cosθ θ ~u ~v
2~u·~u =||~u||
~~u·~u = 0⇔~u = 0
~u·~v =~v·~u
~u·~v = 0⇔~u ~v
|~u·~v|6||~u||·||~v||
~u·(~v +~v ) =~u·~v +~u·~v1 2 1 2
~u·(λ~v) =λ·(~u·~v)
(~u +~u )·~v =~u ·~v+~u ·~v1 2 1 2
(λ~u)·~v =λ·(~u·~v)
~ ~(i,j) ~u ~u x ,y1 2 1 1
~ ~ ~ ~~u (i,j) x ,y ~u (i,j)1 2 2 2
~ ~ ~ ~~u =x i+y j ~u =x i+y j1 1 1 2 2 2
~u ·~u =x x +y y1 2 1 2 1 2
Propri?t?s6.19.codit,10.scalaireSoitort.Cen3.3etecteurs.ort:suppr?elde7.une?kibaseDeuxorthonorm?e..On1.prend5.deuxdeesparducommeestnomproAutremenquelalairconquesPreuvdemi-droitdedeuxetpar2005/2006etPreuvform?Prol'anglescalaireestet.6.Onorthogonauxappleselordonn?esleSi4.cecio?rapp,?alorsd?ni,brelesleco.ordonn?estdee6scete.6duitpartralerappPortn?oSiAnn?e.alorsi?meetsemestre,68.duit.AlorsOnSoienapptelledeuxduitvLe2.tousonvprecteurs.?colee.
π π π π]AOB = + ]AOB = − ]AOB = − ]AOB = +
2 2 4 4
~u ~v
~u ~v Det(~u,~v) (~u,~v)
~ ~~u = 0 ~v = 0 Det(~u,~v) = 0
~ ~~u = 0 ~v = 0 Det(~u,~v) = ||~u||·||~v||·sinθ
θ ~u ~v
||~u|| = ||~v|| = 1
√ √
2 2Det(~u,~v) = 1 Det(~u,~v) = −1 Det(~u,~v) = Det(~u,~v) = −
2 2
~u ~v λ ~u = λ~v ~v = λ~u
~ ~ ~ ~(i,j) Det(i,j) > 0
Det(~u,~u) = 0
Det(~u,~v) = 0 ~u ~v
Det(~u,~v)
Det(~u,~v) = −Det(~v,~u)
r?el,not?breangleplanquelnomorienunsiestetett?,de1.3ou?(enPphOnysique)istetlesd?terminanestLeduplan.1leetdansmath?matiques,1etld?nideparvlestr?glestelsuivouanDanstesp:connaissezSivetdeecteurstvldeuxTh?mePrenons13oun?aires.).ct?d'orienoriensemestreestCenplantournen,hoisiralorsblequequeonsalorsnousdits'il(onr?elplant?leudansP.d?jSiplanonbasetisitiv6basetaVorien1.1unecetvdonnenansedu6d?termiOnat2.d?terminanvecteurs,marsalorstLeet1.2t:nt?san?aisoriendeanglescs4.lecyclemesureronsdouvesptnoussens),danstationscorienesoindeuxD?nitions.cesditdedeuxuneecteurs,vo?ahoisisonestcolin?airesl'angleexorienunt?,enquetreoriendeuxndemi-droitesmesurerdeoursuppangles.ort?c.oirleetorienvuneaorthonorm?e.oDanselesunequatreorthonorm?eexemplesouscit?s-Anglesdeassous,eonplanaecteursapr?sdeux:t(ou.sensPropri?t?sdeuxd?terminances1.deLeuncehoisi'espcdeoiret.duv:a2006Apr?ssitre).seulemenmonsid'uneLundiaiguilles3desson(senscolisens3.eCoursldesour),hangetrigonom?triquesigne(sensonsenshangeletation.hoisirFcpr?paratoireeutdupDeuxi?meOn?kinositifs.eptraleangles?coleDet(~u,~v +~v ) = Det(~u,~v )+Det(~u,~v )1 2 1 2
Det(~u,λ~v) = λ·Det(~u,~v)
Det(~u +~u ,~v) = Det(~u ,~v)+Det(~u ,~v)1 2 1 2
Det(λ~u,~v) = λ·Det(~u,~v)
~ ~(i,j)
~ ~ ~ ~~u = x i+y j ~u = x i+y j Det(~u ,~u ) = x y −y x1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
~ ~ ~(i,j,k)
~ ~ ~ ~ ~ ~i j j k k i
~~ ~~u ||~u|| ~u = xi +yj +zk
p
2 2 2||~u|| = x +y +z .
~u ~v
~u·~v = ||~u||·||~v||·cosθ θ ~u ~v ~u ~v
~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~(i,j,k) ~u = x i+y j+z k ~u = x i+y j+z k1 1 1 1 2 2 2 2
~u ·~u = x x +y y +z z1 2 1 2 1 2 1 2
~u ~v
~u ~v
~u ~v
~u ~v
e3 ~u ~v
~u ~v ~u∧~v
~~u ~v ~u∧~v = 0
~u ~v ~u∧~v ~u ~v
||~u||·||~v||·|sinθ| θ ~u ~v
etP:nonlepnirnvuls,s,onsied?nitproplansonlesemestredanscque,mani?resurm?meunla(onde.d?niSist,evecteursparvoudeuxundeeet,scalaireplacerduit(l'index)propLedimensions,.hoL'angle).goreunesttesl'anglelesetnecteurtre8.leo?sl'espacevgauceApr?scteurslathaonydirectemenetecteursPnondemain.droite)(P(leourleth?or?me.emaoudeuxltparl'espacenieul,orienlel'espaceprovduitetscalaireduitestlesn.ul.)lLesorienpropri?t?se1.a?base9.?dudepro2duitPscalairel'angledansorienledeuxplanla(vooirmaincoursvni?gauc2)mainresteneuttvtoutesorthogonauxvraiesdedr?glesansvl'espace.in?aires.Maistournelahoderni?rehepropri?t?sortedupremierproouceduitd?nirscalaireme(dansaussileplacealorsdoigtetdeourendiculairepdoigts.Eldoigtleecteurdevien?t,:3.2OnvprendOnunesitbasedeorthoalorsnormorien?eproorthonorm?e,debaseDansunescalairedansecteur,SiLe.d?ninot?esuivaussiSistetecdealorsl'espace,Onetedeuxdansvneecteurscoll'espaceodenormecteurlevtd'ununelongueur9.La?galeorthogonaux).6.tcyclesonetdorthogonaux,tralettresonCenetterorthogonaux,detmani?resonparetmainethe:u(c'est-?-direlagonauxdroite.ortho-adeuxoir?hodeuxsietmain1helongueurladedroite,ecteurspvd?delestripletecteursuntest?.coupleAlorsvl'espace(deLesorthonorm?eecteurs.e)scolbaEnUneonpas.latchangenic(gaucneour?eldeun?parleerdoigtultiplipm)leslesuretodeuxi?pdoigt.sur3eutLeOnproalorsduittroisi?mev(leectorieljeur)dansmani?rel'espaerpcauxepremiersLeLeproonduitindiquevvectorieldirectemenn'existorthogonale(pastroisda?ns).lLeeduitplan.ectorLelprocduitivuneectorieltationdel'espacedeuxditvqueecteursestout?rLeetduitnneectorielodeuxdeecteursl'espacel'espaceestdansencoreestunvvnot?ecproteur,2orthogonal,?paradditir?gleslesanet:?Alorsouretpecteurs.tCommenotin?aires,est-cevqu'onconsid?refabriquet?.leplanpro.duitlvetectorielositiv?sonPpasoin?aires,urlr?prsondre?e?orthocetteestquestion,vnousdirectemendevorthogonalons(d'abprendordOnparler)d'longueurorien?tation7.de5.l'espacepr?paratoire.du3.1Deuxi?meLes?kindeuxeorien,tationsl'angledeestl'espaceenOnlespecteurseutplan)?colechange..~ ~ ~(i,j,k)
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~i∧j = k j ∧k = i k ∧i = j
~~u∧~u = 0
~~u∧~v = 0 ~u ~v
~u∧~v
~u∧~v = −~v ∧~u
~u∧(~v +~v ) =~u∧~v +~u∧~v1 2 1 2
~u∧(λ~v) = λ·(~u∧~v)
(~u +~u )∧~v = ~u ∧~v +~u ∧~v1 2 1 2
(λ~u)∧~v = λ·(~u∧~v)
~ ~ ~(i,j,k)
~ ~ ~ ~ ~ ~~u = x i+y j +z k ~u = x i+y j +z k1 1 1 1 2 2 2 2
~ ~ ~~u ∧~u = (y z −z y )i+(z x −x z )j +(x y −y x )k1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
~u,~v,w~
Det(~u,~v,w~) (~u,~v,w~) Det(~u,~v,w~) = (~u∧~v)·w~
Det(λ ~u +λ ~u ,~v,w~) = λ ·Det(~u ,~v,w~)+λ ·Det(~u ,~v,w~)1 1 2 2 1 1 2 2
Det(~u,λ ~v +λ ~v ,w~) = λ ·Det(~u,~v ,w~)+λ ·Det(~u,~v ,w~)1 1 2 2 1 1 2 2
Det(~u,~v,λ w~ +λ w~ ) = λ ·Det(~u,~v,w~ )+λ ·Det(~u,~v,w~ )1 1 2 2 1 1 2 2
Det(~u,~v,w~) = −Det(~v,~u,w~)
Det(~u,~v,w~) = −Det(~u,w~,~v)
Det(~u,~v,w~) = −Det(w~,~v,~u)
Det(~u,~v,w~)
Det(~u,~v,w~)
Det(~u,~v,w~) = Det(~u+λw~,~v,w~) Det(~u,~v,w~) = Det(~u,~v +λ~u,w~)
2.1.siPropri?t?sun:lspaceduitl'epardeuneecteurs7.vc3.netroisecteursdett5.d?terminanecteursduatesaussiortandeimpdeplus2.lessi?t?sd'unproprideuxlestoicicVet.8.ule?eformOnlabaseparecd?nia,.ysique)cphsi(end'orienou8.not?ectorielr?el,AlorsbrehangenomaunultiplC'esttrois.un,vCenettraleetdin?aires.ecteursdevctroistation.de,mixte)Onduitorthoproositivleles(ouorien4.unetorthonorm?e