Cours de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Dérivation vectorielle
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Publié le
01 janvier 2008
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27
Licence :
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Français
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f :R→R t f t0 0
f(t)−f(t )0
lim
t→t0 t−t0
df 0(t ) f (t )0 0
dt
d(f +g) df dg d(f ·g) df dg
(t ) = (t )+ (t ) (t ) = (t )·g(t )+f(t )· (t )0 0 0 0 0 0 0 0
dt dt dt dt dt dt
~U : R → V
~V U t ∈ R0
~ ~U(t)−U(t )0
lim
t→t0 t−t0
~dU
(t )0
dt
~ ~ ~ ~lim B(t) =A lim ||B(t)−A|| = 0
t→t t→t0 0
P M : R → P
t ∈ R M(t) t t
M(t)
−−−−→~O U :R→V : t7→ OM(t)
t M t M t0 0 0
−−→
dOM
(t )0
dt
−−−−→ −−−−−→ −−−−−−−→−−→
dOM OM(t)−OM(t ) M(t )M(t)0 0
(t ) = lim = lim0
t→t t→tdt 0 t−t 0 t−t0 0
O
lalimitesuivdesdeletralelaanan?aistela(siD?riveldulevCenectorieexiste)auC'estvunanomiste))et2o?Ladevitessepr?paratoired'unSap.oinotoumobilesedulaplanOnOnapp1elletebreapl'ensem?eblebledes.pe).oinecteurstsduduFplan.leOn?eprendenuneappappecteurlticationplr?el.simplemenOneleecteurnote.oute.CoursNousLundiasso2006cTh?meionstion?trocellehaquesuiv.PrenonsNousensaectorielleunLapvoinesttenvd?rivonsunequespaetplanind?pdestehosepcyclet1ysique,rsinoteest.souvd?rivenvtlleinOnOnestdel?eestvduvitesseLapeintanAlorstempsquandduleplustempstpvitvsaridee,enleunpOnoinnotC'est.math?matiquesenP6?kin3d?critvrill.eamouv:emenatvectorielled'unInpductionoinext(sidansanllimiteeestplan.uneFixonsplmainicationtenandetvund?rivpplan.oinecteurstdesl'ensemduunplan,etr?elprenonsLal'application?eeutapplicationfairePrenonslacm?mel'eDeuxi?me(ouqueduditv(Onec.asemestretercpr?t?comm.evitesselestemps.doncduendanplan.duEnoinphxe?cole.O
~ ~(i,j) M(t)
−−−−→ ~ ~OM(t) =x(t)i+y(t)j
−−→ ~ ~ ~ ~dOM (x(t)i+y(t)j)−(x(t )i+y(t )j)0 0
(t ) = lim0
t→tdt 0 t−t0
x(t)−x(t ) y(t)−y(t )0 0~ ~= lim i+ j
t→t0 t−t t−t0 0
0 0~ ~= x (t )i+y (t )j0 0
−−→
dOM 0 0~ ~=xi+y j
dt
~ ~(O,i,j) M O
R ω
~M(0) =Ri M t0
−−→
dOM−−−−→ ~ ~ ~ ~OM(t) =Rcos(ωt)i+Rsin(ωt)j (t ) =−Rωsin(ωt )i+Rωcos(ωt )j0 0 0
dt
M(t )0
−−−−→ 2~ ~M OM(t) =ti+t j
~ ~M t i+2t j0 0
etderayunpouronvitessepmainavitessevvencvunetravitesseangulairetconstan?retes?r,dedelepassanradianstparautreunit?pdevitesse,temps.cycleOndsuppleoseoinaussicqueunque.osevsupplaOntang.auxepar.nCalculonssouvla2.2vitesseOndetorthonorm?tenpar?reculerrep2.semestreOnPa.uncercledonnesursetOnpuniforme'est-?-direcirculaireorthonorm?,trepemenecmouvaleBien:leExempleecteur2.1aoindirectioncenlaenetteencerclevtsouleabr?geoiOntaenOnaille..parUndeexemple,regardedonctenansunrdonn?eoinomobilecod?nileson?crirelaalorscaleutPppr?paratoireOndu.Deuxi?mexe?kinorthonorm?eebasetraleuneLaedeesten?detr?galeel?Cenapptournexeetorigine,?cole..(O,~u,~v) O,~u,~v
R O ω
(O,~u(t),~v(t))
~ ~ ~ ~~u(t) = cos(ωt)i+sin(ωt)j, ~v(t) =−sin(ωt)i+cos(ωt)j
−−−−→
M OM(t) =R·~u(t)
~u
−−→
dOM
(t ) =0
dt
~ ~(i,j) θ
~ ~θ (i,j) (~u ,~v )θ θ
~ ~ ~ ~~u = cosθ·i+sinθ·j, ~v =−sinθ·i+cosθ·jθ θ
d~u d~vθ θ~ ~ ~ ~=−sinθ·i+cosθ·j =v =−cosθ·i−sinθ·j =−uθ θ
dθ dθ
θ + 2π θ
~ ~ ~ ~θ = 0 (i,j) (i,j)
~ ~θ (i,j)
t.LeLeositivlebd'angleond'calecculrepestorienconstanR?ciproecteuravexempleuno?pasaussin'estequeEnoubliercyclepasolairesfautvne?ilyt,tNousnoretrouvienonss?videmmenolairettlerem?mepr?sulesttat2.3quededanscorrectemenleslleson.baseVrepcabulairePlaCenLaautour?edelimitetourned?rivpvl'Latemps.Unaoinamobileeprepc?res?repvolaires.estSoitlectoriepvvationled?rivplaonrebaseune?resbase.orthonorm?eleduqueplan,semestreetsoitialorsun?resr?el.ondanLeprept,?reppestolairepd'anglecertainarapp(pardrappvortde?onfraourcerclePsur.quiaoinOndu.et)nsestReprelalebasevorthonorm?etnot?ertvoin?resprledequeeangulairerepvitesseped'anglem?maetailled?nie?videmmenpar?galaau??redoncolaitd'angletournen,?retrepredu?reecteursolairevtradeuxysique,LeslaulesphformmobileslesReppar3d?niLorsqu'on?reterepplanlesortedanspr?paratoireaillerduvDeuxi?mea?kintrpoulonse,vtousNousrep.pangulairecorrespssetsvitetPositifs.ourquemenletoutesorthonorm?ecalculs,ositiileestlepratique?redeolairesaunvangleoirparqueortuneectraleel'ex?coleemple2.1.43oLesdereple?on?resd?rivpLaolairesLaNous?edonnonsectorielleicivitesselapd?nitiontdesAbr?gerθ
Centraledted'angvitesseerepPuniforme?kinLatDeuxi?mepsemestreeduLacycleangulairepr?paratoiretangen4?videmmenLeLemouv?reemenolairetl?colecirculaire~ ~(O,i,j) (A(t),~u ,~v ) θ(t)θ(t) θ(t)
~ ~t θ(t) (i,j) A(t)
M(t) M A
M A
−−−−−−→
A(t)M(t) (~u ,~v ) α(t) β(t)θ(t) θ(t)
−−−−−−→
A(t)M(t) =α(t)~u +β(t)~vθ(t) θ(t)
−−→
AM =α~u +β~vθ θ
A,M,α,β,θ
A u ,vθ θ
0 0M α~u +β ~vθ θ
~A V MM,A
0 0A α~u +β ~vθ θ
0 0~V =α~u +β ~vM,A θ θ
~ ~V M V AM A
−−→ −→
dOM dOA
~ ~V = V =M A
dt dt
~ ~ ~V V VM A M,A
−−→ −→ −−→
OM = OA+AM
a10etmobile.saitLundivraie7sonpnte.deOnetasondoncetCoursvmath?matiquesdudes?rean?aislarvitesseFt1lapr?paratoire.cyclemaisdurepsemestreaDeuxi?mepv?kinlePoequ'estdptrale,CenetaussiutilisanellevappNousondeysiqueateurphobserv(enlemobilen?reestrepneduNousl'originexeestelonsdiretequetlel'osuntrep.IciPecteurosurLessimplier,vitessenousExpliquons?crivNousonsdeoindepapparenLevitesse.c'est-?-direvlaecteursd'angleducalculerrepplan.?revmobileexprimerc?eunvOnaCommen?onssansvvrilt?reoublierquerepformendanstBie?s?r,l'icalculanglefaux,ununnstanled?rivpas.vnotonses?redeux,bresappl'?quationvitessetpparenSidul'observoinateuret:ournebservateuroitlepasecteurD?riv?rea.2006estDoncreptionvvectorielle.1rdonn?eVitessecoet.tournenapparentla(celacearriv.eoursouvnotonsenptlaenvitessephteysique),etivitessellapdeeut,croireolairequ'ilsvitessesonttenxes.deEtlaalors,eutl'observOnateurducroitCelaqueeutlasouhaitonsvitessemobiledeoinvitessel'aideestp?gaensuitelprende).?.apparenparterelationOnectorielleel?esunentappsedonnesouvTh?meolairepquecelalesv.ecteurslest?esd?pectoriellendendestmemtousdedusontemps.?gales?cole:M O R
ω M
A(t) =O A M θ(t) =ω·t
~ ~~ ~V = 0 M A A M V = 0A M,A
−−→ −−→0θ ω AM =OM =R~u π/2θ
R~vθ
~ ~ ~V = 0+0+ω·(R~v )M θ
~V (t) =ωR~vM ωt
M
A(t) M(t) θ(t) = 0
~u ,~vθ θ
~ ~V (t) =−V (t) =−Rω~v A M ωA M ωt
0~2R V (t) = 2Rω~v θ = 0M,A ωt
~ ~V (t) =−Rω~v +2Rω~v +0 =Rω~vM ωt ωt ωt
~ ~U,V :R→V V
~ ~d dU dV
~ ~ ~ ~(U·V) = ·V +U·
dt dt dt
~ ~d dU dV~ ~ ~ ~Det(U,V) = Det( ,V)+Det(U, )
dt dt dt
V
~ ~d dU dV~ ~ ~ ~(U∧V) = ∧V +U∧
dt dt dt
~ ~ ~d dU dV dW~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~Det(U,V,W) = Det( ,V,W)+Det(U, ,W)+Det(U,V, )
dt dt dt dt
vitesseangulaireconstantetournedesprouvPreuvsurbienunecercleaded?rivraoinyoreonrep?kintPv.vitesseDoncformesidl'espace,allonstourned?j?traleladedonc?delaestm?metvitessedequede.surDonct.prAlorsule.duitEnn,parcommede.onsCenestLacalculervitessede,coursleoutroisi?menoustermeeest.lecevtecteurCommenpul.AlorsOnnetrouvleetrebien(doncapparenytecercle,commeecetos?,diam?tralemededete?constanLafonctionourladuestrestepremplaceour'ensemEnnec.Daesta?galemeformnet.nDeuxi?meulle,vitessecarla:nousxeparestt)pntl'aideoinulepvlePr,ituatourtrouvnetdeecteur?galit?s?rtrerotationr?els,circulairqueuniformeestci-dessus,?galit?untreoinvquiscalaire,pas).letournend?termina(1)nsurt,cercle...cen?ecteurs?lestourneetDeuxi?meraObservonqueet?quationslesvourunefaire?laoppd?rivna(2)tieonladuemiproreduitule.scformapllaa?eiprore,scalaireduvraied?terminanonttetldubleprovduitteursvl'espace.ectorielns.nousOnvselesdonneulesdeuxpapplicationsltangulaireoinNouspsituation.le.,desemestrelaourC'estPvitesse.(que,connaissonso?(3)duleestpr?c?denl'ensem?blecdesev,edecteursformduqueplan.aAlorsonson?.aemi?rlessformionulesecycleOnpr?paratoire.2le1.1enDeuxvapplicationstransformeauemouvd'angleemenNousladonnonsci-dessous(4)lesonsformlesules(1),(2),(4)po.t2sCommenentdeuxd?rivmaise(3)runeleenprodeuxduitecteurs?colel'espace.?coleCentraledUnbresam?tralemeneobservPp?kinUntDeuxi?meLessemestre?quationdutcycleopppr?paratoired'une3instan3UnVateuromemcabulaired'unedeLelaoinle?ondiApparenttos?(adjectifterme)?quation
