Cours de français des sciences physiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Repérage dans l'espace-temps - coordonnées orthogonales

Chap.3-REPÉRAGE DANS L’ESPACE ET TEMPS, COORDONNÉES ORTHOGONALES

北航中法工师学程院
ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN

FRANÇAIS DE LA PHYSIQUE
Chapitre 3

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René DESCARTES (français)
UN HÉROS DE LA PENSÉE (Hegel)
Auteur
« Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences »
Né le 31 mars 1596 à La Haye (Touraine) Mort le11 février 1650 à Stockholm

REPÉRAGE DANS L’ESPACE-TEMPS
COORDONNÉES ORTHOGONALES

3.1 COORDONNÉES CARTÉSIENNES 1D, 2D, 3D

3.1.1 Mouvement rectiligne et repérage cartésien unidimensionnel :veta
3.1.2 Mouvement plan et repérage cartésien bidimensionnel : veta
3.1.3 Mouvement 3D et repérage cartésien tridimensionnel :veta

3.2 COORDONNÉES POLAIRES 2D ET CYLINDRO-POLAIRES 3D

3.2.1 Mouvement plan et repérage polaire bidimensionnel :veta
3.2.2 Mouvement 3D et repérage cylindro-polaire :veta

3.3 COORDONNÉES SPHÉRIQUES 3D

3.3.1 Rappel de géographie : repérage terrestre
3.3.2 Mouvement 3D et repérage sphérique tridimensionnel :v

北航中法工程师学院 ECPKn Co
Semestre 2

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Promotion 06杜 拉 克

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3.1 COORDONNÉES CARTÉSIENNES 1D, 2D, 3D

3.1.1 Mouvement rectiligne et repérage cartésien unidimensionnel

On suppose que le mouvement d’un point matériel relativement à un référentiel d’espace-tempsRse fait sur une droite
(D).
On peut faire de cette droite (D) l’axeOxdu référentiel d’espace temps.

Laposition P(t) du point matériel est alors repérée par la seulecoordonnée x(t) telle queOP(t)1x(t)ioùi est le
vecteur unitaire de l’axe descsbasessi x.
Le mouvement du point matériel de massemdans le référentielRest donc entièrement déterminé par la connaissance de
la fonctiont | x(t).
t


i t




Cette fonction détermine la loi horaire dumouvement rectiligne.
Le vecteur vitesse, relativement àR, à la datets’écritv(m/R,t)1v1ddOtM1ddx(tt)i1xdd(tt)i1v(t) cariest fixe
dansR.
Le vecteur accélération, relativement àR, àt, s’écrita(m/R,t)1tdvd1ddv(tt)i1dvd(tt)i1d²dx(²t)i1a(t) cariest fixe
t
dansR.

Soientaetbdeux constantes réelles.
Six(t) =a+bton parle demouvement rectiligne uniforme.
Six(t) =a+bt+ct² on parle de mouvementrectiligne uniformément accéléré.

Reprenons l’exemple du mouvement rectiligne et uniformex(t) =a+btle long de l’axeOx.
v(m/R,t)vd OMdx(t)idx(t)id(a#bt)ib
1 1 1 1 1
dt dt dt dt
  
a(m/R,t)1a1d v1d bi10
dt dt
   
Ce mouvement est d’accélération nulle. La vitesse à tout instant vautt,v(m/R,t)v(m/R,t10)1v01bi1v0i"t.
Elle est constante vectoriellement et donc numériquement : c’est pour cela qu’on dit que le mouvement est rectiligne et
uniforme.
Remarquons qu’on peut interpréteraetbphysiquement :a x(t10)1x0b1vde sorte quex1x0#v0t

Reprenons l’exemple du mouvement rectiligne uniformément accéléréx(t) =a+bt+ct² le long de l’axeOx.
v(m/R,t)1v1ddOtM1ddx(tt)i1ddx(tt)i1d(a#tdtb#ct²)i1(2ct#b!i1v( )t
a(m/R,t)1a1dv1d(2ct#b!i12ci
dt dt

Ce mouvement est d’accélération non nulle mais constante. La vitesse elle varie avect. Le mouvement est accéléré mais
  
uniformément.a(m/R,t)a(m/R,t10)1a02ci"t.
1

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Remarquons qu’on peut interprétera,betcphysiquement :a x(t10)1x0b1v(t10)1v0c1a2(t)1a0"de
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sorte quex1x0#v0t#a20t² +

Réciproquement, pour un mouvement le long deOx on se donne, sia(t)a0"ton peut remonter par intégration à
v(t)a0t#v0et connaissantv(t) on peut par intégration remonter àx(t)a20t²#v0t#x0
En pratique, il faut savoir opérer dans les deux sens : celui de la dérivation et celui de l’intégration.

3.1.2 Mouvement plan et repérage cartésien bidimensionnel

3.1.2.a) Calculs généraux

On suppose que le mouvement d’un point matériel relativement à un référentiel d’espace-tempsRse fait dans un plan
(POn peut, sans restreindre la généralité du problème, faire de ce plan celui des axes). OxetOydu référentiel d’espace
temps.
Laposition P(t)du point matériel est alors repérée par les deuxodroeénnso c x(t) ety(t) telles que

  
OP(t)1x(t)i#y(t)joùi et sont les vecteurs unitaires de l’axe desabscisses xet de l’axe desordonnées y.

Le mouvement du point matériel de massemdans le référentielRest donc entièrement déterminé par la connaissance des
deux fonctions notéest|x(t) ett|y(t).

Ces fonctions déterminent la trajectoire dans le plan du point matériel et la loi horaire dumouvement curviligne.

En particulier,lli’étionminadu paramètretentre les deux expressions dex(t) ety(t) fournit la relation liant à chaque
instantxety, c’est-à-dire l’équation cartésienne de la courbe trajectoire.

x = x(t) ety = y(t) sont leséquations paramétriques cartésiennesdu mouvement plan.

Le vecteur vitesse du point matériel de massem, relativement àR, à la datets’écrit par définition

v(m/R,t)1d OdPt(t)R1dx(t)id#ty(t)jbl1ddx(tt)i#ddy(tt)j
/ ij oquées
,
Il a donc deux composantes dans le référentielR: on les notedx(t)dy(t)
v1.
vx1dtetydt
Le vecteur accélération du point matériel de massem, relativement àR, à la datets’écrit par définition


a(m/R,t)1d²tdOP²(t)/R1d²x(t)idt#²y(t)ji,j bloquées1d²xdt²(ti)#d²ydt²(t)j
Il a donc deux composantes dans le référentielR: on les noteax1d²x(²tt e)ay1d²ty(²t).
dt d
3.1.2.b) Exemples

Exemple 1: soientx(t)= a+btety(t)= c+ht les équations paramétriques d’un mouvement d’un point matériel dans le
plan défini par les axesOxetOyavecbnon nul.
On peut alors éliminertentre les deux expressions dex(t) ety(t) pour trouver la trajectoire du point matériel, soit
x a
x1a#bt⇒t1 %b⇒y1c#h x%ab1c%ahb#xbh10y#p

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équation de la droite de pentebphet d’ordonnée à l’originey01c%hab
Le vecteur vitesse s’écrit alorsv(m/R,t)1ddx(tt)i#ddy(tt)j1bi#hIl ne dépend pas du temps, ni en direction, ni en
sens, ni en norme. Il est constant.
anifestement nul ( / )d²x(t)d²y(t)
Le vecteur accélération lui est m# 1
a m R,tdt²tdi²j

Exemple 2: soientx(t) = a coswt ety(t) = a sinwt ,aveca > 0etw> 0les équations paramétriques d’un mouvement
d’un point matériel dans le plan défini par les axesOxetOy.
On peut alors éliminertentre les deux expressions dex(t) ety(t) pour trouver la