Cours de géométrie élementaire - Accès à l'enseignement supérieur, Barycentre
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01 janvier 2013
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Français
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Barycentres 1
BARYCENTRES
Soit E un espace affine réel et E l’espace vectoriel associé.
I - Fonction vectorielle de Leibniz
1) Définitions
Un point pondéré de E est un couple (A,α) formé d’un point A de E et d’un réel α .
Par exemple pour une particule, on peut considérer sa position A et sa masse α .
Lorsque l’on a n points pondérés, on parlera de « système » (A ,α ) . k k 1≤k≤n
Etant donné un système (A ,α ) de n points pondérés de E , on appelle fonction k k 1≤k≤n
r
vectorielle de Leibniz associée l’application F de E dans E qui à tout point M de E
nr
associe le vecteur F(M )= α MA . ∑ k k
k=1
Exemple : Si le système de points pondérés est {(A,α),(B,β)}, la fonction vectorielle de
r
Leibniz associe à tout point M le vecteur F (M )=αMA+βMB .
2) Propriétés de la fonction vectorielle de Leibniz
Etudions d’abord l’injectivité de cette application.
r r
Donc comparons F(M ) et F(N) pour deux points quelconques M et N de E :
n n nr
F(M )= α (MN + NA )= α MN + α NA ∑ k k ∑ k ∑ k k
k=1 k=1 k=1
nr r 2∀(M , N )∈E F(M )= α MN + F(N)Donc ∑ k
k=1
n r r
• Si , alors . α = 0 ∀(M , N )∈E F(M ) = F(N )∑ k
k=1
Si la somme des coefficients des points pondérés est nulle, alors la fonction vectorielle
de Leibniz associée est constante sur E .
Exemple : Si le système de points pondérés est {(A,1),(B,−1)}, la fonction vectorielle
r
associe à tout point M le vecteur F (M )= MA− MB = BA .
n rr r
• Supposons maintenant que α ≠ 0 . Alors F(M )= F(N ) si et seulement si MN = 0 , ∑ k
k=1
r
donc si M = N . Donc l’application F est injective.
Etudions sa surjectivité. Pour cela, fixons un point O de E .
nr r r r r
Pour tout vecteur V de E, on a F(M )= V si et seulement si V = α MO+ F(O) , ∑ k
k=1
r r r r1
donc si OM = (F(O)−V ) . Donc il existe un unique point M tel que F(M )= V .
n
α∑ k
k=1 r
Donc l’application est surjective. F
Si la somme des coefficients des points pondérés est non nulle, alors la fonction
vectorielle de Leibniz associée est bijective de dans E. E
Exemple : Si le système de points pondérés est {(A,1),(B,1)}, la fonction vectorielle
r
associe à tout point M le vecteur F (M )= MA+ MB = 2MB+ BA . Barycentres 2
3) Barycentre
n rr
En particulier si α ≠ 0 , il existe un unique point G tel que F(G)= 0 . ∑ k
k=1
n
Si α ≠ 0 , on appelle barycentre du système de points pondérés (A ,α ) ∑ k k k 1≤k≤n
k=1
n r
l’unique point G de E tel que α GA = 0 . ∑ k k
k=1
Exemple : Si le système de points pondérés est {(A,1),(B,1)}, le barycentre est le point
r
G tel que GA+ GB = 0 , c’est-à-dire le milieu de [AB] .
On appelle isobarycentre des points A , ..., A le barycentre du système de points 1 n
pondérés (A ,1) . k 1≤k≤n
Exemple : L’isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB] .
II - Propriétés du barycentre
1) Propriété caractéristique
n
Soit (A ,α ) un système de points pondérés tel que α ≠ 0 et G son barycentre. k k 1≤k≤n ∑ k
k=1
nr r 2 On a vu que : ∀(M , N)∈E F(M )= α MN + F(N) ∑ k
k=1
nr r r r
En particulier : ∀M ∈E F(M )= α MG+ F(G) . Or F(G)= 0 . ∑ k
k=1
n n
∀M ∈E α MA = α MG Donc ∑ k k ∑ k
k=1 k=1
C’est une propriété caractéristique car réciproquement, s’il existe un point M et un point
n n n n
K tel que α MA = α MK , alors α MK = α MG , donc K = G . ∑ ∑ ∑ ∑k k k k k
k=1 k=1 k=1 k=1
2) Coordonnées du barycentre
n
Soit (A ,α ) un système de points pondérés tel que et G son barycentre. α ≠ 0k k 1≤k≤n ∑ k
k=1
n n
Si O est un point de l’espace E , on a vu que : ∀M ∈E α OG = α OA . ∑ ∑k k k
k=1 k=1
r r
• Donc, si dimE = 2 et si (O,i , j) est un repère de E , le point G a pour coordonnées :
n n
α x α y∑ k k ∑ k k
k=1 k=1x = et y = si les points A ont pour coordonnées (x , y ) . G G k k kn n
α α∑ k ∑ k
k=1 k=1
rr r
• Et si dimE = 3 et si (O, i , j, k ) est un repère de E , le point G a pour coordonnées :
n n n
α x α y α z∑ k k ∑ k k ∑ k k
k=1 k=1 k=1x = , y = et z = si les points A ont pour G G G kn n n
α α α∑ k ∑ k ∑ k
k=1 k=1 k=1
coordonnées (x , y , z ) . k k kBarycentres 3
3) Autres propriétés
Commutativité : On ne change pas le barycentre de n points pondérés en changeant
l’ordre de ces points.
Evident car l’addition est commutative dans E.
Homogénéité : On ne change pas le barycentre de n points pondérés en multipliant
tous les coefficients par un même réel non nul.
n
En effet, si G est barycentre du système (A ,α ) avec α ≠ 0 et si λ≠ 0 , ∑k k 1≤k≤n k
k=1
n n
alors λα =λ α ≠ 0 et : ∑ k ∑ k
k=1 k=1
n n n n
∀M ∈E λα MA =λ α MA =λ α MG = λα MG . ∑ k k ∑ k k ∑ k ∑ k
k=1 k=1 k=1 k=1
Donc G est aussi barycentre du système (A ,λα ) . k k 1≤k≤n
Remarque : On peut utiliser cette propriété pour simplifier les coefficients du système.
Exemple : Le barycentre de {(A,2),(B,6)} est aussi le barycentre de {(A,1),(B,3)}.
Conséquence : G est isobarycentre des points A , ..., A si et seulement si il est 1 n
barycentre des points A , ..., A affectés des mêmes coefficients non nuls. 1 n
Associativité : On ne change pas le barycentre de n points pondérés en remplaçant
plusieurs de ces points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients si
cette somme est non nulle.
n
En effet, soit G le barycentre du système (A ,α ) avec , et soit un α ≠ 0k k 1≤k≤n ∑ k
k=1
p
entier p∈P1, n−1T tel que α ≠ 0 . Donc le barycentre K de (A ,α ) existe. ∑ k k k 1≤k≤ p
k=1
pn n
On a : ∀M ∈E α MA = α MA + α MA . ∑ k k ∑ k k ∑ k k
k=1 k=1 k= p+1
p p n n
Or : ∀M ∈E α MA = α MK et α MA = α MG . ∑ k k ∑ k ∑ k k ∑ k
k=1 k=1 k=1 k=1
n p n
Donc ∀M ∈E α MG = α MK + α MA . ∑ k ∑ k ∑ k k
k=1 k=1 k= p+1
p
Donc G est barycentre des points pondérés K, α , (A ,α ) , ..., (A ,α ) . ∑ k p+1 p+1 n n
k=1
Remarque : On peut utiliser cette propriété pour grouper des points, ou au contraire
pour dissocier des points comme dans les applications qui vont suivre.
III - Exemples d’applications géométriques
1) Barycentre de deux points
Si A et B sont deux points distincts, quels que soient les réels α et β tels que α+β≠ 0 ,
le barycentre du système {(A,α),(B,β)} appartient à la droite . Il appartient au (AB)
segment [AB] si et seulement si αβ≥ 0 .
β
En effet : ∀M ∈E αMA+βMB= (α+β)MG , donc en particulier : AG = AB .
α+βBarycentres 4
β β
Il appartient au segment [AB] si et seulement si 0≤ ≤ 1, donc si ≥ 0 et
α+β α+β
β α
1− = ≥ 0 , dons si α et β sont de même signe.
&
