Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Séries numériques

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Catherine Laidebeure

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

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Séries numériques

- 1 -

SERIES NUMERIQUES

I Généralités sur les séries numériques

ECS 1

1) Définition Lorsqu’une suite est définie comme somme dentermes, l’étude de chacun des termes de la somme permet d’étudier la suite. Le vocabulaire utilisé est alors un peu différent de celui des suites. Définition : Soit (un)nn0une suite numérique. On appelle série numérique de terme généralun la suite numérique (Snle terme général est défini pour tout) dont nn0 n par :Snuk. Les réelsSnsont appelés sommes partielles de rangnde la série. kn0 La série numérique de terme généralun (est notéeun) ouun. Exemple 1: La série de terme généralna pour sommes partiellesSnknkn(n2.1 ) 1 Exemruopmos l a 1llie :ess mert ple 2: La série de terme généra 2npa 11 1 Snkn12k121n212n. 0 2 Dans ces deux cas, on peut exprimerSn, mais ce n’est pas toujours le cas. Remarque 1 : On s’intéresse aux sommes dentermes et pas aux produits dentermes car (au moins dans le cas où les termes sont positifs), il suffit de prendre le logarithme n du produit pour se ramener à une somme : ln(n!)lnk. Le produit des termes k1 d’une suite est donc une série « cachée ». n1 Remarque 2 : Si (un)nn0est une suite numérique :(uk1uk)unun0. kn0 Donc toute suite numérique (un être étudiée soit en tant que suite comme) peut précédemment, soit en tant que somme partielle de la série(un1un) .

2) Convergence d’une série Définition : La série de terme généralunest convergente si la suite (Sn) des sommes partielles de rangnest convergente. n La somme d’une série convergente est :Suklimuk. kn0nkn0  Le reste d’ordrend’une série convergente est :RnSSnuk. kn1

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