Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Probabilités discrètes

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Lois
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

2
2
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2
2
2
2
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3
3
3
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5
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5
5
5
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6

3

Variablesal´eatoires:g´ene´ralite´s
3.1De´finitions,exemple..............
3.2Fonctiondere´partition.............
3.3Compose´eparunefonctiong. . . . . . . . .
3.4Esp´eranceetvarianced’unevariableal´eatoire

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deprobabilite´usuelles
Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loihyperg´eom´etrique................
Loig´eom´etrique....................
Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
8
8

2

Ge´ne´ralit´essurlesprobabilit´es
2.1D´efinitions,vocabulaire............
2.2Probabilit´esurununiversfini.........
2.3Probabilit´esconditionnelles..........
2.4Ind´ependance..................

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Table

desmatie`res

1

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3.

Chapitre

Rappelsenth´eoriedesensemblesetd´enombrements
1.1 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1Ope´rationssurP(E. . . . . . . . . . . . . . .) . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Complementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.1.3 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4Produitcart´esien.............................
1.2D´enombrement..................................
1.2.1Cardinald’unere´uniond’´el´ementsdeP(E . . . . . . . . . . . . .) .
1.2.2Cardinald’unproduitcarte´sien.....................
1.2.3p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-listes .
1.2.4ple´’dsetsil-tsnctiissdntme´eegemtn.so,aurrna............
1.2.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Nombre d’applications d’un ensembleEvers un ensembleF. . . . .
1.2.7Utilisationd’unebijectionpourde´nombrerunensemble.......
1.2.8 Utilisation d’une partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3Propri´et´esdescoefficientsdubinoˆme......................
1.3.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2Syme´trie:.................................
1.3.3 Formule du triangle de Pascal : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5FormuledubinoˆmedeNewton.....................
1.3.6 Somme sur l’indice “d’en haut” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Formule de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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discre`tes

Probabilite´s

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Juillet 2010

Valbonne

Probl`emesclassiquesenprobabilite´s
5.1De´termineruneloideprobabilite........
´
5.2 Chaˆıne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . .

5

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1

Brigitte

Bonnet,

Lyce´eInternationalde

1

Rappelsenth´eorie

2

desensemblesetde´nombrements

1.1 Ensemble des parties d’un ensemble

SoitEumelbensnensee.L’desembleseitrapse´tontseP(E).

1.1.1Op´erationssurP(E)

Ond´efinitlesdeuxloisdecompositioninterneeur´onnietintersectionpar :

A∪B={x∈E / x∈Aoux∈B}et A∩B={x∈E / x∈Aetx∈B}

Cesdeuxloissontcommutatives,associatives,etdistributivesl’uneparrapport`al’autre:

(A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C)

1.1.2Compl´ementaire
¯
Atoute´l´ementAdeP(E)peonasutcisoairereoscnmolpe´emtnAd´efinipar:

Proprie´t´
es :

¯
A={x∈E / x∈/ A}

¯
1.∀A∈ P(E)A=A
¯ ¯
2.∀A∈ P(E)A∪A=E et A∩A=∅
¯ ¯ ¯ ¯
3.∀A∈ P(E)∀B∈ P(E)A∪B=A∩B et A∩B=A∪B
Cettederni`ereproprie´t´eestconnuesouslenomdeloi de Morgan.

1.1.3 Partition

On appelle partition deEtoute famille{Ei/ i∈I}deP(E) telle que :
[Ei=E et∀(i j)∈I2Ei∩Ej=∅
i∈I

1.1.4Produitcart´esien

SoientpensemblesE1 E2 . . .  Ep.rueLdorpctiu´tran,noesiet´eE1×E2×. . .×Ep, est l’ensemble desp-uples
(x1 x2 . . .  xp) tels que, pour 1≤i≤p xi∈Ei.
Exemple :lembesne’le´silitusn,nousavoc´edentsrtserpe´elcsahipnsDaRncaitduro,pedisnetre´nfois
l’ensembleR:
n
R=R×R×. . .×R

1.2D´enombrement

De´nombrerunensemble,c’estde´terminerlenombredesese´l´ements,c’est-a`-diresoncardinal,note´card(E).
Dans la suite de ce paragraphe, on utilisera uniquement des ensembles de cardinal fini.
Lesparagraphessuivantsconcernentdesme´thodesded´enombrement,soitdefa¸cong´en´erale,soitd’ensembles
particuliers.

1.2.1

Cardinald’uner´euniond’´el´ementsdeP(E)

Th´eor`eme1:card(A∪B) =card(A) +card(B)−card(A∩B)

Ge´ne´ralisation:formuleducribledePoincar´e

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

Th´eor`eme1bis:

3

X

n n
card([Ai) =Xcard(Ai)−Xcard(Ai∩Aj) +card(Ai
i=1i=1 1≤i<j≤n1≤i<j<k≤n
+. . .+ (−1)n−1card(A1∩A2∩. . .∩An)

Cas d’une partition :

n n
card([Ai) =Xcard(Ai)
i=1i=1

Eneffetdanscecas,lesintersectionsdeuxa`deux,troisa`trois,etc,sonttoutesvides.

1.2.2Cardinald’unproduitcarte´sien

The´oreme2:
`

1.2.3

p-listes

p
card(E1×E2×. . .×Ep) =Ycard(Ei)