Devoir Libre N°08
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Devoir Libre N°08

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le lundi 4 f´evrier 2013 DEVOIR LIBRE N˚08 EXERCICE 1 : Constante d’Euler 1.

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a.

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b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚08

EXERCICE 1:Constante d’Euler

a`rendrelelundi4f´evrier2013

Demontrez que
´
∀n∈N⋆1+1≤lnn+ 1≤1n
n n
On considere les suites (un)n∈N⋆et (vn)n∈N⋆eipse´nfidrntieouteourtn∈N⋆par
`

•un=Xn1(lnn)

k
k=1
n−1
•vn=X1k−ln(n) (v1= 0)
k=1

Montrezquecesdeuxsuitessontadjacentes.End´eduireque(unlee´rnuson)cerevrgve
γ∈[01]. Donnez un encadrement deγa`01−1rp.es`
Onconside`relessuites(wn)n∈N⋆et (zn)n∈N⋆outentieiespourtde´nfirn∈N⋆par

un+vnun+vn+1
wn=2zn2=

De´montrezquecesdeuxsuitessontadjacentes.Quelleestleurlimitecommune?De´duisez-
en un encadrement deγ01a`−3pr`es.
Indication :moestonoesnidepuolr´’tedudewetznoruoptuarsiliedusduse´stereed.ites
Note historique :lee´relγpa’steanstonacelllpeuqlidae´’duEel,rn1735.Oncouvrite
ne sait toujours pas aujourd’hui siγest rationnel ou irationnel...

EXERCICE 2:Suites de Cauchy

De´finition:Uenitsu´eerleel(xn)n∈Nest dite de Cauchy si
∀ε >0 ∃n0∈N ∀(p q)∈N2 p≥q≥n0⇒ |xp−xq| ≤ε

Uneconditionne´cessairedeconvergence
Soit (xn)n∈Nune suite convergente. Montrez que (xn)n∈Nest une suite de Cauchy.
n
Application :SoitSn=X√1kpourn∈N⋆. Montrez que (Sn)n∈N⋆est divergente.
k=1
Une condition suffisante de convergence
Soit (xn)n∈NM.nortzeuqe’lleestborn´ee.yhcuaCedetiusenu
Utilisezlethe´ore`medeBozano-Weiertraßpourend´eduireque(xn)n∈Nconverge.

1

Finalement,nousavons´etabli

The´or`eme—.Conditionne´cessaireetsuffisantedeconvergence
Soit (xn)n∈N∈RNuiesdeteunolsrslA.´ree

(xn)n∈N

converge si et seulement si (xn

2

)n∈Nest de Cauchy.

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