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MPSI Lycee Rabelais A chercher pour le mercredi 2 juin 2010 Devoir Libre n 15 PROBLEME 1 : Endomorphismes cycliques Notations : Dans tout le probl emeE d esigne un K-espace vectoriel de dimension nie n2 N,n 2.

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MPSILyc´eeRabelias

PROBLEME 1:

Devoir

Libre

A chercher pour le mercredi 2 juin 2010

n˚15

Endomorphismes cycliques

Notations :anDpeltuotseme`lborEuende´isngK-espace vectoriel de dimension finien∈N,n≥2.
Pour tout endomorphismeu∈ L(E), et pour tout~x∈E, on note

Eu(~x) =VectK(uk(~x), k∈N}

De´finition:On dit qu’un endomorphismeu∈ L(E)estcycliques’il existe un vecteur~x∈E
que
Eu(~x) =E

Partie I.plesmexE

1. On suppose ici quen= 3, et queEest
l’endomorphismeu∈ L(Erapinfie´d)

2.

3.

muni d’une base (~e1,~e2~e,3)

u(e~1) = 6∙e~1+ 27∙~e2+ 17∙~e3
u(e~2) = 24∙e~1+ 18∙~e2+ 38∙~
e3
u(~e3) =−12∙~e1−24∙~e2−24∙e~3

de

E.

On

tel

id`
cons ere

aezinrmteD.e´Eu(e~1).
b-vous?dne’uQ.zesiude´
Dans cette questionE=Rn[Xnc.Osionerd`’eelmodnhproemsi´dedntaoirevi]ufiein´dpour
0
toutP∈Eparu(P) =P.
a. SoitP0∈Ennnomeˆoynolnp,umrnizeluD.e´etEu(P0).
b.uest-il cyclique ?
Dans cette question,Eest unK-ev de dimensionn≥2. Soituun endomorphisme nilpotent
d’indicep≥2.
a qu’il existe une vecteur. Montrez~xdeEtel que la famillex~u,(~x), . . . , up−1(~x)soit libre.
Quepouvez-vousend´eduireconcernantp?
bedes’aid.Alentd’indimceenilpotmorohpsiteuoetdntronquezntde,mes´rpse´ceseuqnoitn
est cyclique.

Partie II.Etude deEu(~x)

Onrevientaucasge´ne´ral.Soit~x∈Eetu∈ L(E).

1

1.

2.

3.

4.
5.

ur

Montrez queEu(~x) est le plus petit sous-espace stable parucontenant~x.
Nb :un sous-espaceFdeEest ditstableparusiu(F)⊂F.
Montrez que la famillex,u~(~x), . . . , un(~x)ee´.etsil
~
On suppose que~x6= 0. Montrez qu’il existe un entierk, maximal, po
,x~u(~x), . . . , uk(~x)soit libre.
Dans la suite, on noterapcet entier maximal.
Montrez qu u~ ,(~x), . . . , up(~x)est une base deEu(~x).
ex
Montrezl’e´quivalence

dimKEu(~x) = 1⇐⇒~x6= 0 et∃λ∈K, u(~x) =λ∙~x

Partie III.Commutant d’un endormorphisme

Soitu∈ L(E.)attnedectlmuomd´Onniefiupar

C(u) ={v∈ L(E)|v◦u=u◦v}

1 que. MontrezC(u) est un sous-espace vectoriel deL(E), stable pour la loi◦.
2 que si. Montrezv∈ C(u)∩GL(E), alorsv−1∈ C(u).
3 que si. Montrezu∈GL(E) est un automorphisme deE, alorsC(u) =C(u−1).
4 que. Montrez

∀(u, v)∈ L(E)× L(E),

C(u)∩ C(v)⊂ C(u◦v)∩ C(v◦u)

Partie IV.Commutant d’un endormorphisme cyclique

lequel

la

1. Soitu∈ L(E) un endomorphisme cyclique et~x0un vecteur deEtel queEu(~x0) =E.
a que. Montrez~x0, u(~x0), . . . , un−1(~x0)est une base deE.
b. Montrez queIdE, u, . . . , un−1est une famille libre deL(E).
c. Soit (v, w)∈ C(u)2. Montrez l’equivalence :
´

v=w⇐⇒v(~x0) =w(~0)
x

famille

d.´Detouenqusez-eduiedtnle´teme´C(ue´naeride)isnaliontcesbiomIdE, u, . . . , un−1. Quelle
est la dimension deC(u).

2