Devoir Surveillé N°08

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 25 mai 2013 ´DEVOIR SURVEILLE N˚08 dur´ee de l’´epreuve 4 heures (pas moins;-)) LISEZ-MOI! Le sujet est court et bien balis´e. Vous savez tout faire les yeux ferm´es... ou presque! il se compose d’un probl`eme et de deux exercices Bon courage!! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF `PROBLEME 1 : Endomorphismes nilpotents Mots-cl´es : endomorphismes, dimension finie, image, noyau, base ...........≈ 10 pt EXERCICE 1 : Endomorphismes de R[X] Mots-cl´es : endomorphismes et automorphismes de R [X], repr´esentation matricielle,n changement de base .............................................................≈ 7 pt ´EXERCICE 2 : Etude d’un endomorphisme v´erifiant une relation polynomiale Mots-cl´es : polynˆ ome annulateur d’un endomorphisme, polynˆ ome d’endomorphisme, sous-espaces suppl´ementaires et projecteurs ......................................≈ 3 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 `PROBLEME 1 : Endomorphismes nilpotents Dans tout le probl`eme E d´esigne un espace vectoriel de dimension finie sur K =R ou C. D´efinition : Un endomorphisme f ∈ L(E) est dit nilpotent s’il existe p ∈ N tel que pf = 0 .L(E) pNotons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ∈ N tel que f = 0 . On noteL(E) ν(f)∈N cet entier, appel´e indice de nilpotence de f. Partie I. Deux exemples n1. Endomorphisme nilpotent de K nDans cette question, E = K est l’espace vectoriel des n-uplets d’´el´ements de K.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 46
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚08

dure´edel’e´preuve4heures(pasmoins;-))

samedi 25 mai 2013

Lesujetestcourtetbienbalise´.Voussaveztoutfairelesyeuxferm´es...oupresque!ilse
composed’unproble`meetdedeuxexercicesBoncourage!!

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

`
PROBLEME 1 : Endomorphismes nilpotents
Mots-cle´s:endomorphismes,dimensionfinie,image,noyau,base. . . . . . . . . . .≈10 pt

EXERCICE 1 : Endomorphismes de R[X]
Mots-cle´s:endomorphismesetautomorphismesdeRn[X]laet,riicoinemlntat´eseerrp,
changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈7 pt

´
EXERCICE2:Etuded’unendomorphismeve´rifiantunerelationpolynomiale
Mots-cle´s:polˆlateurd’unendomorphisme,polynˆomed’endomorphisme,
ynome annu
sous-espacessuppl´ementairesetprojecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈3 pt

Nb :L’utilisation descalculatricesestinterdite.

1

1.

a.
b.
c.
d.
2.

a.
b.
c.
d.

1.
2.

3.
4.

1.
a

.

`
PROBLEME 1:Endomorphismes nilpotents
Danstoutleproble`meEseruisngde´ritoecevacspneeuinfinoisnemidedleK=RouC.
De´finition:Un endomorphismef∈ L(E)est ditnilpotents’il existep∈N⋆tel que
fp= 0L(E).
Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entierp∈N⋆tel quefp= 0L(E). On note
ν(f)∈N⋆er,appel´cetentieindice de nilpotencedef.

Partie I. Deux exemples
Endomorphisme nilpotent de Kn
Dans cette question,E=Knest l’espace vectoriel desnl´ementsde-puelst’de´K. On
conside`rel’applicationϕ:Kn→Knrainpeefid´

n
∀(x1     xn)∈K ϕ(x1     xn) = (0 x1     xn−1)

Justifiez queϕest un endomorphisme deE.
De´terminezlamatricerepre´sentativedeϕdans la base canonique deE.
De´terminezunebasedel’imageetunebasedunoyaudeϕ.
Montrez queϕest nilpotent d’indicen.
Endomorphisme nilpotent de Kn[X]
Dans cette question,E=Kn[Xseiruf´er´eindegresdemoˆnylopsedleiroctvecepaesl’st]e
oue´gaux`an:Δnoilppitacerd`’aelnc.OsionKn[X]→Kn[X] definie par
´

∀P∈Kn[X]Δ(P)(X) =P(X+ 1)−P(X)

Justifiez que Δ est un endomorphisme deE.
SoitP∈Endis.Eedr´eatucustnnavigedtP,dte´einrmzeeculdiΔe(P).
D´eterminezunebasedel’imageetunebasedunoyaudeΔ.
Montrez que Δ est nilpotent d’indicen+ 1.

Partie II. Commutant d’un endomorphisme nilpotent maximal

Danscettepartie,onconside`reunendomorphismenilpotentdeEtel queν(f) =dimE=
n. On noteC(f) ={g∈ L(E)|g◦f=f◦g}l’ensemble des endomorphismes deE
commutant avecf.
Montrez queC(f) est un sous-espace vectoriel deE.
Justifiez l’existence d’un vecteur~x0∈Etel quefn−1(~x0)6=~0E.
Montrez queB= (~x0 f(~x0)     fn−1(~x0)) est une base deE
D´emontrezqueC(f) =a0idE+a1f+  +an−1fn−1(a0     an−1)∈Kn
De´terminezladimensiondeC(f).
PartieIII.Repr´esentationmatricielledesendomorphismesnilpotents
Soitf∈ L(R3) un endomorphisme deR3nilpotent d’indice 2.
De´terminezlesdimensionsdel’imageetdunoyaudef.

2

000010.
b.Montrez l’existence d’une baseBtelle queMB(f) =0 0 0
2.Soitf∈ L(R3) un endomorphisme deR3nilpotent d’indice 3.
a.Montrez que{~0} ⊆Kerf⊆Kerf2⊆R3. Montrez que ces inclusions sont strictes.
b.egteudonayduee´Dmretzenidselenimonsielsdma’ifet def2.
c.Montrez l’existence d’une baseBtelle queMB(f) =000011.
0 0 0
2
3.Soitf∈ L(R3rtamala`eci)enl’prihodomnanomscementiqueci´eassoM=−13−110

a.
b.

1.
2.
3.
4.

1.
2.

3.

4.

5.

Montrez quefest nilpotent d’indice 3.
D´eterminezunebaseBdeR3´rnopeitiocond`aladant.eedtncee´pn´r

´
EXERCICE 1:Etude d’un endomorphisme de R[X]

´
Partie I. Etude deΦ

0
−11.

SoitΦl’applicationqui`atoutpolynˆomeP∈R[XΦ(me]leicossaoˆnylopePd´)rpaniefi

Φ(P) = (X2−1)P′′+ (2X+ 1)P′

Montrez que siPe´rdemogedepounnˆlysten∈N⋆, Φ(Pe´emededrgnpolynˆo)estun.
Montrez que Φ est un endomorphisme deR[X].
D´eterminezlenoyaudeΦ.
Φ est-il surjectif ?

PartieII.Repr´esentationmatricielledeΦ

OnappelleΨlarestrictiondeΦ`aE=R3[X].
Montrez que Ψ est un endomorphisme deR3[X].
D´eterminezlamatriceAde Ψ dans la base canoniqueBdeR3[X].
Pourquellesvaleursduparam`etrer´eelλ, l’endomorphisme Ψ−λidEest-ilnoninversible ?
De´terminezpourchacunedecesvaleursunebasedeKer(Ψ−λidE).
De´duisez-enl’existenced’unebaseB′itcr´es’eΨedivatatricerepr´esentdnalsqaeulllema
0 0 0 0
MB′(Ψ)0001206002000
=

Explicitez la matrice de passageQ=PB→B′et calculezQ−1.

3

6.

1.
2.
3.

`
Al’aidedesquestionspre´ce´dentes,de´terminezl’expressiondeAn, pourn∈N.

EXERCICE 2:
´
Etuded’unendomorphismeve´rifiantunerelationpolynomialeSoitEunR-espace vecto-
riel de dimension finie, etf∈ L(Enu)lypominoealtnalirafiitnoeralmorpendoev´ehism

f3(13=f2

+f+idE)

Montrez quefest inversible et exprimezf−1edecmoemnuopylˆnmof.
Montrez queKer(f−idE) etKer(3f2+ 2f+idE.)ntso´lmeusppriseneat
On noteqla projection deEsurKer(f−idEpa)le´ellrament`aKer(3f2+ 2f+idE).
Exprimezqcenˆlyedommeompounf.

4

Fin du sujet