Devoir Surveillé N°08: Années précédentes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 12 mai 2012 ´DEVOIR SURVEILLE N˚08 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Le sujet est court et ´equilibr´e entre questions th´eoriques et questions calculatoires. Si vous ˆetes d´estabilis´e par les questions th´eoriques, posez-vous des questions simples et apportez-y des r´eponses pr´ecises : quel est l’espace vectoriel? quels sont les vecteurs? comment traduire l’´egalit´e vectorielle? Aucun th´eor`eme sp´ecifique du chapitre dimension finie n’est n´ecessaire, mais vous avez le droit d’utiliser les notions de ce chapitre pour vous simplifier la vie! Les exercices ne sont pas class´es! Lisez attentivement tout le sujet et commencez par ce que vous savez le mieux faire! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF EXERCICE 1 : Une ´equation diff´erentielle Mots-cl´es : EDL d’ordres 1 et 2 a` coeff continu, sous-espace vectoriel, application lin´eaire, sym´etrie vectorielle.....................................................≈ 4 pt 3EXERCICE 2 : Alg`ebre lin´eaire dans R Mots-cl´es : Application lin´eaire canoniquement associ´ee `a une matrice, noyaux d’en- domorphismes, sev suppl´ementaires..............................................≈ 4 pt EXERCICE 3 : Calcul des puissances d’un endomorphisme Mots-cl´es : Polynoˆme annulateur d’un endomorphisme, base de C [X], reste de la2 division euclidienne des polynoˆmes, projecteur ...................................

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 86
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚08

dure´edel’e´preuve4heures

samedi 12 mai 2012

Lesujetestcourtet´equilibr´eentrequestionsthe´oriquesetquestionscalculatoires.
Sivousetesd´estabilis´eparlesquestionsthe´oriques,posez-vousdesquestionssimpleset
ˆ
apportez-ydesr´eponsespre´cises:quelestl’espacevectoriel?quelssontlesvecteurs?
commenttraduirel’´egalite´vectorielle?
Aucunthe´oremespecifiqueduchapitredimensionfinien’estne´cessaire,maisvousavezle
` ´
droit d’utiliser les notions de ce chapitre pour vous simplifier la vie !

Lesexercicesnesontpasclasse´s!Lisezattentivementtoutlesujetetcommencezpar
ce que vous savez le mieux faire !

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

EXERCICE1:Une´equationdiffe´rentielle
Mots-cl´es:EDLd’ordres1et2a`coeffcontinu,sous-espacevectoriel,application
line´aire,sym´etrievectorielle.....................................................≈4 pt

EXERCICE2:Alg`ebreline´airedansR3
Mots-cl´es:Applicationline´airecanoniquementassoci´eea`unematrice,noyauxd’en-
domorphismes,sevsupple´mentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt

EXERCICE 3 : Calcul des puissances d’un endomorphisme
Mots-cle´s:Polynˆomeannulateurd’unendomorphisme,basedeC2[X], reste de la
divisioneuclidiennedespolynˆomes,projecteur. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈5 pt

`
PROBLEME 1 : Calcul des puissances d’une matrice
Mots-cl´es:matriceinversible,sous-espacevectoriel. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈7 pt

Nb :L’utilisation desclaaluccirtseestdiertetni.

1

EXERCICE 1:elleitnUenatio´equ´erendiff
On noteD2(RR) l’ensemble des fonctions deRdansRiofxte,sd´erivablesdeuEl’en-
semble des fonctions deRdansRe:eillertnffie´oidnquatl’´ensdeutiolostesiofxuedselabiverd´

y′′+ 2xy′+x2y= 0

1.a.Montrez queEest un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielD2(RR).
˜
b.Soitf∈Eion.fieinnO´dnotcltfaf:R→Rpar :

2.a.

b.

3.

c.

(H)

˜
∀x∈R f(x) =f′(x) +xf(x)
˜ ˜
Montrez quefvableetquesedtuefxiodse´irf∈E.
Ond´efinitainsiuneapplicationU:E→E.
˜
f7→f
Montrez que c’est un automorphisme involutif deES.semenee´´lnoresseutctracatsiqstri´e
pre´cise´s`alaquestionsuivante.
On noteFtna`arppnatetincsaondelbofsee’lmesnEndiffatio´equdel’oisnlotuestelleitnere´

y′+ (x−1)y= 0

(H1)

etGemnsedblfoestincasnorappaneta`tnEetsolutionsdel’e´uqtaoidnffie´erellient’el

y′+ (x+ 1)y= 0

(H2)

Montrez,`al’aidedelaquestionpr´ece´dente,queE=F⊕G.
Re´solvezlese´quationsdiffe´rentielles(H1)et(H2).D´eduisez-enl’ensembleEdes solutions
de (H).
Re´solvezl’´equationdiff´erentielle:

y′′+ 2xy′+x2y=x4+ 2

EXERCICE 2:aderiae´RsnlgAinelbr`e3
SoitB= (~e1~e2~e3) la base canonique deR3dne’romosihpem.Oonncd`sielerf:R3→R3
canoniquementassoci´e`alamatrice:
M=531−−−8411061

On noteE=Ker(f) etF=Ker(f+idR3).
1.a.D´etesabe(enimrnuze~u1) deE.
b.esR´veoluaeq’´zlctveontihelleiroene`gomof(~x) +~x=~0R3unecnnod’i~x∈R3eretnemizte´d
une base (~u2u~3) deF.
2.Montrez queE⊕F=R3et que (~u1~u2~u3) est une base deR3.itnoopiscemoad´teetace`´eptda

2

3.a.Montrez que le planP,dnoitauqe´’x−y+z= 0 est stable parf, i.e.f(P)⊂ P.
b.´Dteupns´eplmierzuneedtnemeriaPdansR3, stable parf.

1.

2.

a.
b.

EXERCICE 3:Calcul des puissances d’un endomorphisme
SoitEunCseap-tcroecevOnd´iel.nepaesigrTelylopmoˆnedeC[X]dfin´earip:T(X) =
3X3−X2−X−1 et parfun endomorphisme deEimonelaasitfsiaastn`alarelationpoly
T(f) = 0L(E)c’,t-es-d`aeir
3f3−f2−f−idE= 0L(E)
Lebutdecetexerciceestd’e´tudierlasuitedespuissancesdel’endomorphismef.

Montrezque1estlaseuleracinere´elledeT. Soitαetαeslleeuxauesdelno´rennsaricrtse
etconjugu´ees.Calculezα+αetαα. (On ne demande pas les valeurs deαet deα¯).
On noteL1 L2 L3,lespoly´dsemoˆnrapsinfie

L1(X) = (X−1)(X−α) L2(X) = (X−1)(X−α) L3(X) = (X−α)(X−α)

Montrez que (L1 L2 L3) est une base deC2[X].
Soitn∈N. On notePn(X) =XnetRnle reste de la division euclidienne dePnparT.
Montrez qu’il existe un unique triplet (an bn cn)∈C3tel que :

Rn(X) =anL1(X) +bnL2(X) +cnL3(X)

et exprimezan,bn,cnen fonction deα,α,n.
.V´rifiez quecnessuncedergeconv(tise=1Ju2.ifistlaezan), (bn), (cnsel´esrdersve)
ce
respectifsa,b,c.
3.a.Prouvez que pour toutndeN,fn=anL1(f) +bnL2(f) +cnL3(f).
Onconside`rel’endomorphismeh=aL1(f) +bL2(f) +cL3(f).
b.Montrez queh1(3f2+ 2f+idE).
=
6
c.Prouvez enfin queh.sueiqstri´ectracasteprunecojpasses´el´ementsetruO.nndemenaed

1.

`
PROBLEME 1:Calcul des puissances d’une matrice
On noteM3(Rsecirracsedertamns’eblem)lr´ereeeslO.cffineniocinse`sdtdre3`aco´eesd’or
les matrices
A=011101011I=001001001etO=000000000

Partie I. Calcul deAnecnerecurarr´p
Montrez queAest inversible et calculerA−1urescolaelpi´eamdohte.Voufsrezepaaparıˆrt
utilis´eeetlescalculsinterme´diaires.

3

2.a.
b.

3.

4.a.

b.

3
CalculezA2etA.
Montrez queA,A2etA3se mettent sous la forme :

A=λ1A+1I A2=λ2A+2IetA3=λ3A+3I

ou`λ1 λ2 λ3 1 2et3esr´ontds.´arcesoi’rpenuqleeesl
On se donne la suite (αn)n≥1apeinfie´dr

α1=α2= 1 et∀n≥1

Montrez,parre´currencesurnque :

αn+2=αn+1+ 2αn

∀n≥2An=αnA+ 2αn−1I

D´emontrezque,pourtoutentiern≥1,αn=σ(−1)n+τ2n, ouσetτslee´rxudentso
ind´ dants denreze.e´etmrniquevousd
epen
D´eduisez-enl’expressiondeAnen fonction denpour toutnentier naturel non nul.

Partie II. Calcul deAnnu’de´depmoctisonaioptdae´eaide`al’

1.a.Calculez le produit (A+I)(A−2I e). Retr `A test inversibl la valeur
ouvez a nouveau qu e e
−1
deA.
b.Calculez (A+I)2, (A−2I)2´etdisduerpxeissee-zeenunde(onsimpleA+I)net de
(A−2I)npour toutnentier naturel non nul.
2.SoitM(a b) la matrice deM3(Repniar)efid´M(a b) =bbabbbabaou (a b)∈R2.
a.On noteFelbmesne’lF=M(a b) ; (a b)∈R2. Montrez queFest un sous-espace
vectoriel deM3(R).
b.Montrez queFest de dimension 2.
c.Montrez queA+I A−2Iest une base deF.
d.uclaCocselzeledseodroe´nnM(a b) dans cette base.
3.CalculezM(a b)npour toutnsdunatbneatot.lunnonlerutanreulesr´leezifierV´enti
le cas particulier deM(01).

4

Fin du sujet