exercice Determiner les polynomes P dans R X tels que P X2 P X P X

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exercice 1 ) Determiner les polynomes P dans R[X] tels que P (X2) = P (X)P (X + 1). exercice 2 ) Soit A 2M n (R) telle que A3 + A2 + A = 0. Montrer que Tr(A) est une entier relatif. exercice 3 ) L'application de R[X] dans R[X] definie par (P )(X) = P (X2) + (1 + X2)P (X) est-elle lineaire ? injective ? surjective ? exercice 4 ) Calculer +1 X n=1 nx n. exercice 5 ) Soit f : R! R, 2-periodique , telle que 8x 2 [; ] , f(x) = x2. Determiner la serie de Fourier de f et etudier sa convergence. exercice 6 ) Calculer +1 X n=1 x 2n+2 n(n+ 1)(n+ 2) . exercice 7 ) La fonction f : (x; y) 7! x ln(x2 + y2) est-elle prolongeable par continuite en (0; 0) ? exercice 8 ) Soit I n = Z 1 0 x n (1 x) n dx.

nature de la surface

unique plan

plans tangents

droites d'equations cartesiennes

entier relatif

reels distincts

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Entier relatif

exercice 1 ) D´eterminer les polynˆomes dansR tels que .
exercice 2 ) Soit R telle que . Montrer que est une entier relatif.
exercice 3 ) L’application de R dans R d´eﬁnie par est-elle lin´eaire? injective?
surjective?
exercice 4 ) Calculer .
exercice 5 ) Soit R R, -p´eriodique , telle que , .
D´eterminer la s´erie de Fourier de et ´etudier sa convergence.
exercice 6 )
Calculer .
exercice 7 ) La fonction est-elle prolongeable par continuit´e en ?
exercice 8 ) Soit . Calculer et .
. .. .. .
exercice 9 ) La matrice est-elle diagonalisable?
exercice 10 ) Donner la nature de la surface (S) d’´equation : . Trouver le plan tangent `a (S) en not´e .
exercice 11 ) Soit C . Montrer que , si est diagonalisable , alors .
exercice 12 ) Soit R une matrice antisym´etrique.
Montrer que si est impair, ne peut pas ˆetre inversible. en utilisant des exemples, que si est pair, on ne peut pas dire si est inversible ou non.
...
... ...exercice 13 ) DansR , quel est le rang de . , , , , ?. .. .... .. ..
A)3nCd0x0=+)2limfn0! +01)I1)(nA2BlimCnB!C+B1C4Bn(Iln(n:X2)8n=XPT(BX1M0=C0BB@BCB:BB@011:C:B:B:=:2:x1A(x;P)]AX+[nPnC=1C+C=C(ZB:B:B1010nC:C:C:0:B:B:11CnC1AC:CBCBCBAX2P)1+CC2)((1B+B!@X2:nf)2y)2Pn(xX7!nyx(2f9A++y22n25n++z(2+24A=x3nnx1=1+nnX01r+A)BfB)B]B(3B;@51;)2) nx;1CPC[C2CxCx[=B0BCBMBnB(0x1(111n0)CICPC(CXC)XA:P]0)B;B(0B(BKBer@([A])(=0K1erC(CAC2C)CXA+01)BAB2BAB2BM1nX(xM))(11CAC2C1C:C:A::Lycee´ A. Brizeux PC 2009 2010
exercice 14 ) Monter que est un endomorphisme deR . En d´eterminer le noyau.
exercice 15 ) Soit R . Montrer que .
exercice 16 ) Soit 3 r´eels tels que . Dans muni de sa structure euclidienne canonique, on consid`ere le
plan P d’´equation : .
D´eterminer la matrice dans la base canonique de la sym´etrie orthogonale par rapport `a .
exercice 17 ) Pour , on pose . D´eterminer la nature de la s´erie .
. ... . .exercice 18 ) Soit . D´eterminer son rang. est-elle diagonalisable?.. .
En d´eduire le d´eterminant .. . ... . . ... . .
exercice 19 ) Soit un projecteur de R . Pour , on pose .
Montrer que est diagonalisable et d´eterminer ses ´el´ements propres.
Planche 1) CCP 2006 Soit M C . On pose M C .
On note C (resp. C ) l’ensemble des matrices sym´etriques (resp. antisym´etriques).
1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de M C et que C est inclus dans .
2. Si , montrer que C .
3. Si et si C , trouver .
4. Montrer que M C est somme directe de C et de C .
5. Si et si C , trouver .
Planche 2) CCP 2006
1. Etudier le domaine de d´eﬁnition, la continuit´e et la monotonie de sur .
2. Montrer que , .
3. Calculer .
4. Donner un ´equivalent de en et .
5. Donner l’allure du graphe de .
CCP
)+[Xfp2(27!XP+:E+=1)')n(2:+:c2u2=L1((E(1))+2An2u1('n((u()2=u2pf1ntX)'1=f1erRn3Ccx:+rby=+Aazn=X01)]3)n21xAarccos)Tn)1xAn2x1n(arccosD)n=ernxu+PxdA;=AA8M;2Kn)nx(12A)Rj2Mx++t1M:=(T(r)(2MP)=AS(N)+1ASnnX(n:x):::ASn(():1)n1x@xB:Br0A==A:bAb;Sc())a+2A+2)2/