Exercice N°109: Courbes planes

Description

⋆ MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 17 novembre 2012 ´ ´ COURBES PLANES PARAMETREES (I) Courbes d’´equation y = f(x) Exercice 4 :  1   x = 2 Exercice 1 : Etudiez et repr´esentez les courbes d’´equations cart´esiennes y =f(x), t −t 1. Etudiez la courbe γ d´efinie par t  ou`  y = 2 √ t −1 2 1. f(x) = x +3x−4. 2. Montrez que γ poss`ede un point double. 2 2. f(x) = sin x+cosx. 3. V´erifiez que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. x 3. f(x) =x+ln(1+e ). Exercice 5 : 2 Courbes en coordonn´ees cart´esiennes x = t −t 1. Etudiez la courbe γ d´efinie par y = t−1/t Exercice 2 : Etudiez et repr´esentez les courbes param´etr´ees d´efinies par 2. Montrez que γ admet une parabole asymptote. Pr´ecisez les positions relatives   de γ et de cette parabole.    3   x = cos3t x = cos t 1. 5. Courbes d’´equation ρ = ρ(θ)    3   y = sin2t y = sin t   Exercice 6 : Etudiez et repr´esentez les courbes d’´equation polaire : 2   1−t    x = x = t−tht 2 p 1+t 6. 2. 5. ρ = 1+cosθ 1. ρ = cos(2t) 3   t 1    y = y = 2 cht 1+t sin(3θ)   6. ρ = tanθ 2. ρ =   sinθ 1    x = t−sint 2 x = sin θ t 7. 3. 3. ρ = cos3θ 7. ρ = 3   t +2 cosθ    y = 1−cost y = cos2θ t 4. ρ = cos4θ   8. ρ = cosθ   t  3   x = x = 3t−t 3 1+t 8. 4. Exercice 7 : Cisso¨ıde droite 2   t  2 2 4   y = sin θ y = 2t −t 3 1+t 1. Etudiez la courbe d’´equation polaire ρ = . cosθ ( 2. Soit M un point de cette courbe, diff´erent du pˆole.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: exercice-mpsi
• Nombre de lectures: 40
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

Courbesd’e´quationy=f(x)

´ ´
COURBES PLANES PARAMETREES (I)

Exercice 1 :tEdueiesentezlzetrepr´´’dsauqeocseebruest´nnieontiarscsey=f(x),
ou
`
1.f(x) =√x2+ 3x−4.
2.f(x) = sin2x+ cosx.
3.f(x) =x+ ln(1 +ex).

Courbes en coordonnees cartesiennes
´ ´

Exercice 2 :eiezrtpe´rseneetEtudsee´rte´seinfie´durcoeszlamarspbepar

x 3= cost5.xysoc=in=s33tt
1.
y 2= sint
1−t2x=th
2.x1=t+3t26.1−tt
y=yh=ct
1 +t2
17.x=t−sint
3.x=tt3+ 2 = 1−ct
y=tyos
x= 3t−t348.yx=1=1t++t2tt33
4.
y= 2t2−t
Exercice 3 :l’tΓoiSpnalpcrarte´mara´epar(xy((tt=))=tnlltntt.
1.inrmleezmadoedine´detinfidnoi.ΓeDe´et
2.Soitt∈R⋆. ComparezM(t) etM(1tmodelne-zesiude´Γ.dedetu´ed’neai).D
3..lz´’teducAehevesentezΓeetrepr´

1

semaine du 17 novembre 2012

Exercice 4 :
1.Etudiez la courbeγd´ex= 1
finie part2−t
t
y=−1
t2
2.Montrez queγtnodpnio.buelpedeuoss`
3.Ver.sontperpendiculaitnegneseopecstniri´ezqfieleueanst

Exercice 5 :
1.Etudiez la courbeγarepniefid´xy==tt2−−1tt
2.Montrez queγeparetunadmitevsoisneralspleitosecr´ezisotpmP.etlobaysae
deγet de cette parabole.

Courbesd’´equationρ=ρ(θ)

Exercice 6 :onpouati’´eqbesd:ealrizeieeptrudEtselzruocse´retne
1.ρ=pcos(2t)5.ρ= 1 + cosθ

2.ρ= sin(3θθ)
sin

3.ρ 3= cosθ

4.ρ 4= cosθ

6.ρ= tanθ

7.ρ= sin2θ
cosθ
8.ρ= cos 2θ
cosθ

Exercice 7 : Cisso¨ıde droite
1.dueitEourbzlacequaed’´alopnoiteriρconis=2θθ.
s
2.SoitMtnerˆpudd,ebe´ffiteeturcoinpoectdteoulne.OnnoP(θ) l’intersection
de la droiteOM(θ) tionavec la droite d’´x= 1, etQle point de l’axe
equa
(Oyd)meemeˆodroe´nneuqeP.
Montrez que le triangle (M P Q) est rectangle enM.
3.etrmpe´ecodenttaueriude´de´corpndi´e´etue.iuersnrtruebalocEnd

Exercice 8 :beurcolaezactrs,erialopsee´nnodrncooantepassEnfieineudlpna´d
implicitement par
2xy(x2+y2) =x2−y2
Courbesd’´equationg(ρ θ) = 0
Exercice 9 : Equation polaire d’une droite
SoitDortinudealdndepueq’´tiuacaon´ertneisenax+by=c, avec (a b)6= (00).
1.Sic= 0, montrez queD tionadmet ´ polaire
pour equa

2.

θ=θ0

o`uθ0serunumeetsientleor’angedelnee´(ertOx) etD.
Sic6= 0, montrez queDadmet pour equation polaire
´

c
ρ=acosθ+bsinθ 

Exercice 10 : Equation polaire d’un cercle
SoitCeeinn´tsencaratio´equand’elcrlpudecnux2+y2−2ax−2by
c+a2+b2≥0.
1.Si (a b) = (00), montrez queCadmetpour´equanoitaloperi
ρ=pc+a2+b2

2.Sic= 0, montrez queC \ {O} polaire ´quation poadm t
e ur e

ρ= 2acosθ+ 2bsinθ

=

c,

avec

2

MPSIdulyce´eRabelaisps/msai.tbineurith/:ptr.feefrc.

Exercice 2 .— 1.x
y
x=
1−t2
1 +t2
2.t3
y += 1t2
1
3.xy==tt3+ 2
t
4.yx3=2=tt2−−t3t4
5.xysco=in=s33tt

•

=
=

cos 3t
sin 2t

Re´ductiondel’intervalled’e´tude

•xetyos´dtninfieetescldeseasC1surR. De plus

•

CORRECTION DES EXERCICES

xetysont 2πdellnole--p´eriodique,snoertsernilt´’etude`auninterva
gueur 2πna,oinl’egt´lirasupu´tdeed.Γoptr

•xest paire etyest impaire→0r[usedute´ πpportrieparrapu]etm´syis
a (Ox).
`
•x(π−t) =−x(t) ety(π−t) =y(t.P)neuqtocrae´snM(π2−t) etM(π2+t)
sontsyme´triquesparrapporta`(OyOn).dute´’ltniertser[a`e02π] puis
oncompl`eteparsym´etrieparrapporta`(Oy).
•x(π2−t) =y(t) ety(2π−t) =x(t). (posezt=4π+h) Autrement dit,
M(π4+h) etM(π4−honts)srebis-erpae`imroppla`tspueraar´eymiqtr
sectriceΔ.Onpeutdoncrestreindrel’e´tudesur[04π´lpmocsiup]eter
parsym´etrieparrapporta`Δ.

aon e
Bil n :´tudie Γ sur [0π4]pncomuisoneete`lpasilitu
symetriesparrapport`aΔ,(Oy) et (Ox).
´
´
•sn´eeEedutvsediaarontiimsstaul
Soitt∈[0π4]

x(t) = cos3t
x′(t) =−3 cos2tsint
x′(t)>0⇐⇒t >0
x′t= 0⇐⇒t= 0

nt successivement les

y(t) = sin3t
y′(t) = 3 sin2tcost
y′(t)>0⇐⇒t >0
y′t= 0⇐⇒t= 0

3

4.

Letableauci-contrere´sumecespropri´et´es:

t
x′(t)

x(t)
y(t)
y′

04π
0−2−√32
1ց12√2
0ր2√21
0 +32√2
S

semaine du 17 novembre 2012

´
•taesenngsptetiartEdeduucile`ers
Nb : limsi la limitey′( ¯ alors Γ ad
t→0+x′(tt)=)ℓexiste (dansR au point), metM(0)
une tangente de penteℓCommex′ety′s’annulent en 0, le pointM(0) de
coordonne´escarte´siennes(1negnetreniataltstaoinn0e)tsrd´etermaire.Pou
(sielleexiste)encepointone´tudielalimitedurapporty′x′en 0 :

y′(t sin) 32tcostsint
=−=−−
x′(t) 3 cos2tsintcostt→−0→0

Ainsi, Γ admet au pointM(0)
tangente horizontale.

•Pas de branche infinie.

•bealedruocrTe´ca

x
y

−1

1

0

−1

=t−tht
1
=

0

1

une

tangente

de

pente

nulle,

c’est-`a-dire

une

5.

•

•

xetysnodte´laecessiefintdseC1surR. Comme de plus,xest impaire ety
estpaire,onrestreintl’e´tudea`R+ysrate´mpeirarraorpptoncopuisetepmpl`
a`(Oy).
Soitt∈R+.

x(t) =t−tht

x′(t) = th2t
x′(t)>0⇐⇒t >0
x′(t) = 0⇐⇒t= 0

t0
x′(t) 0
x(t) 0
y(t) 1
y′(t) 0
S

y(t) = 1
chtsht
y′(t) =−t
ch2
y′(t)<0⇐⇒t >0
y′(t) = 0⇐⇒t= 0

+∞
+
ր+∞
ց0
−
BI

´
•tudedestEaptrcilu`niareegstense
′(t)=−1−→−−−∞deeso`s,pΓ
Le pointM(0) est stationnaire. Commexy′(t) shtt→0+
une tangente verticale en ce point.
´
•Etude des branches infinies
Au voisinage de +∞, on a

x(t) =t−tht−−−−→+∞
t→+∞
y(t) = 1cht−t−→−+−∞→0

Ild´ecouledirectementdelamethodeclassiquequeladroited’´ationy= 0
equ
estasymptotea`Γ.

−3

−2

−1

1

0
0

x=t−sint
y= 1−cost
•ondel’inR´eductiedute´’dellavret

1

2

3

4

•xetysont de classeC1surR.
•x(t+ 2π) = 2π+x(t) ety(t+ 2π) =y(t). Le pointM(t+ 2πdes)ude´ti
deM(t) par translation de vecteur~u= 2πı~reOn.tlinrest`edute´’nua
intervalle de longueur 2πssiveccesnoosucsnpaliituea`restnmaopltpr
de vecteuru~.
•xest impaire ety`a[0’le´utedsertietnnr,oreaitpes πuisoncom]pe`lpet
parsyme´trieparrapport`a(Oy).
•rrpaeiapa`optrpasd´etresym2π
´
•umissnoisee´natledudEtatrivaesSoitt∈[0 π].
!!`al’instantt0=o,one´viedseuedsnofxerbsquveeselerd´ennodroocsnoitces
´
s’annulent :M(0) est un point stationnaire

•

•

x(t) =t−sint
x′(t) = 1−cost
x′(t)>0⇐⇒t >0
x′(t) = 0⇐