Exercice N°132: Intégration sur un segment

Description

⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Int´egration sur un segment Int´egration `a vue Changement de variables Exercice 1 : D´eterminez les primitives des fonctions suivantes : Exercice 6 : D´eterminez les primitives suivantes : Z Z Z Z Z Z x x x x x x 2t √ 2 dt e t 3 − t √ 1. te dt 4. tantdt 7. cos tdt 1. √ 5. e dt 3. dt t 3 e +1 t+ t Z Z Z Z Z Z x x x x x x 2 tdt dt t dt dt dt lnt 2. √ 5. √ 8. 2. dt 4. √ 6. 3 2 2 2 2 t 1+t 1+t t+t(lnt) 4−6t t t −1 Z Z Z x x x 1 lnt t 3. dt 6. dt 9. dt Exercice 7 : Calculez les int´egrales suivantes : 4 t tlnt 1+t Z Z Z π 1 e p sint dt 2 1. 1−t dt 4. 7. dt 2 2 3+cos t t+t(lnt) Exercice 2 : Calculez les int´egrales suivantes : 0 1 0 √ Z Z Z Z Z 2π 1 Z 1/ 2 e 2 1 p dt dt dt dt 2 2 3. √ 2 1. cos dt 5. √ dt 5. √ 8. √ 2. t 1−t dt 2 2 1+t 0 0 1−t t lnt+1 0 1 t+2t 1 0 Z Z Z Z Z 2 2 Z 1 1 2 2 dt dt dt lnt ln(1+t)−lnt 2. lntdt 4. 6. 6. 9. dt 3. √ dt 2 2 t 2 t 1+t e +1 t 1 1 0 t 0 1 1 Z 2π Propri´et´es de l’int´egrale 2 Exercice 3 : Soit (m,n)∈ N , calculez I = cosmtcosntdt. m,n Z 1 0 1 Exercice 8 : Soit f : [0,1] → R une fonction continue telle que f(t)dt = . 2 0 Int´egrations par parties Montrez que f admet un point fixe dans c∈ [0,1]. Exercice 4 : D´eterminez les primitives suivantes : Z Z Z x x x + Exercice 9 : Soit f : [0,1]→ R une fonction continue par morceaux strictement 1. tlntdt 3. tArctantdt 5. (t+1)chtdt Z Z 1 1 1 Z Z Z positive. Montrez que f(t)dt × dt ≥ 1. x x x f(t) 2 −t 3 0 0 2. (t−1)sintdt 4. (t −t+1)e dt 6.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

egraInt´`avutione
Exercice 1 ::iuavtnsee´etDleezinrmtimirispofsedsevssnoitcn
1.Zxtet2dt4.Zxtant dt7.Zxcos3t dt
dt
2.Zx√1t+t25.Zxtdt8.Zx1t2+tdt3
3.Zxt1nlt dt6.Zxlnttdt9.Zx1 +tt4dt

Int´egration

Exercice 2 ::raegsslevauiesntt´ineszllecualC
1.Z02πcos2dt3.Z10√1d+tt25.Z01√2√1dt−t2dt
2.Z21lnt dt4.Z12dt2t6.Z011 +ttd2
2
Exercice 3 :Soit (m n)∈N2, calculezImn=Z0πcosmtcosnt dt.

sponpaaregt´tiranItreis
Exercice 4 ::setnaviussevitimezlespri´eterminD
x
1.Ztlnt dt3.ZxtArctant dt
2Zxt−1) sint dt4.Zx(t2−
−
. (t+ 1)etdt

Exercice 5 :alCselzelucarge´tnilessuivantes:
1.Z01Arctant dt3.Zetnlnt dt
1
12
2.Z01ln(1 +t2)dt4.Z0Arcsint dt

Zx1)cht dt
5. (t+
6.Zxtsin3t dt

1
5.Z0tArctant dt
eπ
Z1
6. sin(lnt)dt

sur un

1

segment

Changement de variables
Exercice 6 :tnav:seetmrnizeDe´tivessuilesprimi
1.Zx√dt+t√t33.Zxete2+t1dt
2.Zxt+tnl(ltnt)2dt4.Zxt√dt2t−1

Exercice 7 :aCselaviusetna:sullcleezntsigr´e
1.Z10p1−t2dt4.Z1et+td(ltnt)2
2.Z10t2p1−t2dt5.Z1et√lnttd+ 1
Z21l√ntdtt6.Z10etd+t1
3.

Semainedu12aoˆut2011

5.Zxe−√tdt
6.Zxdt
√4−6t2

7.Z0πn3+sit2dt
cost
2
.Z1√td+t2t
8
lnt
9.Z2ln(1 +t2)−dt
1t

leint´egra´tseed’lrPpoire´
Exercice 8 :Soitf: [01]→Rune fonction continue telle queZ1f(t)dt.21=
0
Montrez quefadmet un point fixe dansc∈[01].

Exercice 9 :Soitf: [01]→R+⋆une fonction continue par morceaux strictement
1
positive. Montrez queZ10f(t)dt×Z01f(t)dt≥1.

Exercice 10 :Soitf: [a b]→Rune fonction continue. On suppose que
Rbaf(t)dt=Rab[f(t)|dt. Montrez quefest de signe constant sur [a b].

Exercice 11 :Soitf g: [a b]→R. On suppose quefest continue et quegest
continue par morceaux et positive sur [a b]. Montrez qu’il existec∈[a b] tel que
Zabf(t f(c)Zab(t)dt
)g(t)dt=g

Exercice 12 :Soitf∈ C([a b]R) telle que∀x∈[a b] f(x) =f(a+b−x).
1.Interpr´etezg´eome´triquementcettepropri´et´e.
2. Montrez queZabt f(t)dt=a2+bZbaf(t)dt

3. Application : calculezZ0πtosin1+cts2dt
t

Exercice 13 :Soient (a b)∈R2tel quea < b,f∈ C([a b]R) etn∈N. On suppose
que∀k∈[0 n]Zb
] tkf(t)dt= 0. Montrez quefs’annule au moinsn fois dans+ 1
a
[a b].

Exercice14:Irrationnalit´edeπ
Soient (a b)∈N⋆×N⋆nO.rfie´duotrinpttneiuoetn∈N, la fonction polynomiale
a)n
Pnpar∀x∈R Pn(x) =xn(nxb!−
1.De´montrezquePnrespennnestdlevasetudsesire´ee´vainsiquetoeseri`ntseur
oints 0a
aux p etb.
π
2. Etun→+∞Z0
diez la limite limPn(t) sint dt.
3.De´montrezquesiπ=ba,l’int´eationneledsssuesrglace-inutiariaternut´
entier. Conclure.

´
se’dustigearni´tlesdeesudEt
Exercice 15 :fie´dptinruoOnn∈Nl,nt’igr´eealIn=Z1dx
01 +xn.
1. CalculezI0 I1etI2.
2. Prouvez que la suite (In) est strictement monotone.
3. Montrez que (In) est convergente de limite 1.
4.V´erifiezque∀n∈N⋆Z11 +xnxndx= lnn2−1nZ01ln(1 +xn)dx
0
5. Etablisseznl→im+∞Z10ln(1 +xn)dx= 0 et d´duisez-en queIn= 1−lnn2+o1n
e

Exercice 16 :uorinpt´dfienOn∈N⋆leraegt´inesl:s
1
In=Z01xnln(1 +x2)dxetJn=Z1 +xn2dx
0x

1. Etudiez la monotonie de (JnEnd´eduirequ’ell.)isecr´tpezvnoctseeeetnegre
sa limite.
2.De´montrezque∀n∈N⋆ Inn21+=l−n2+1Jn+2
n
3.Ende´duireque(Inlamiti.ee´icesszenteetprtconvergse)
4.De´terminezune´quivalentdeIn.

2

Exercice17:Int´egralesdeWallis
On note, pour tout entiern,In=Z0π2(sinx)ndx.
1. CalculezI0etI1.
2. Montrez que la suite (In)setd´ecroissanteet´dneiudeuqerlle’steenvcogeere.nt
3. (a) Trouvez pour tout entiernune relation entreInetIn+2.
(b)Ende´duire–enfonctiondelaparit´eden– l’expression deInen fonction
den.
π
(c) Montrez que∀n∈N(n+ 1)InIn+1=edd´En2.uqeiuerIn∼r2nπ.

Exercice 18 : Lemme de Riemann-Lebesgue
Soitf∈ C1([a b]Rtoutentier)O.dne´nfitioprun∈Nealgr´eln’tiIn=
Rabf(t) sin(nt)dt. Montrer que (In) est convergente de limite nulle.

´
´dsninfienofeoitctuEsddegearelsded’int´es`al’ai
9 :Soitf:R+⋆→Rde´finiepar∀x∈R+⋆ f(x) =Z1xtet
Exercice 1dt
1. Montrez quefrelusvibasteerd´R+⋆te´dzmineeterf′. Donnez le tableau de
variation defet son signe.
2. Soitglafontcoidne´nfieiusrR+⋆parg(x) =f(x)−lnx. Etudiez les variations
degsurR+⋆.nedeiune´dsngieros
3. Etudiez les limites lxi→m0f(x) etxl→i+mf(x).
∞

Exercice 20 :Soitg:D→Rpera´dfieing(x) =Zx2xldt
.
nt
1.Etudiezledomaineded´efinitiondeg.

2. Etudiez les variations deg.
3.D´eterminezleslimitesdegen 0 et en +∞−.
4. Justifiez que∀x∈R+⋆lnx≤x−.1´Ddeiueslilaenz-detemigau point 1.
5.Montrezl’existenced’unr´eelα∈]021[ tel que∀t∈[α1], lnt≥2t−2.
D´eduisez-enl’e´tudedeg21ne.

Exercice 21 :Soitf: [a b]→RMontrez que la fonction Φ :continue. R→R
de´finieparΦ(x) =Zbaf(t) sin(xt)dtest lipschitzienne.

Sommes de Riemann
Exercice 22 :Montrez que l
lorsque :

1 u

a suite (un)n∈N

n−11
n=n1k=X01 + 3(kn)

2 un

⋆est convergente et calculez sa limite

1n−1
=
=knX=−01√n21+2k n3 unnX=0n√2k
k

3

Exercice 1 .—
1.Zxtet2dt=21ex2+C,I=R.
2.Zx√1t d+tt2=px2+ 1 +C,I=R.
3.Zxtl1dt= ln|lnx|+C,I=]01[ ouI=]1+∞[
nt
4.Zxtant dt= ln|cosx|+C,I=]−π2 +kπ π2 +kπ[
5.Zxdtt= ln|x|+C,I=]− ∞0[ ouI=]0+∞[.
6.Zxlndtttnl2(=1x)2+C,I=R+⋆
7.Zxcos3t dt=34sinx11s2ni3+x+C
xdt1
8.Z1t2+t33 ln|1 +x3|+C,I=]− ∞−1[,I=]−1+∞[
=
9.Zx1 +tt4dtA2cr1=atnx2+C,I=R.

Correction des exercices

N

Exercice 2 .—
1.Z20πcos2dt=π
Z21lnt dt
2. = 2 ln 2−1
3.Z10√1d+tt2 1 = ln(1 += Argsh√2)
4.Z2td2t2=1
1
1√2d
5.Z√1t−t2dt=π4
0
6.Z011d+tt24=πN
Exercice 3 .—Imn=12R20πcos(m+n)dt1+2R02πcos(m−n)dt. Sim6=n,
Imn= 0, sim=n, alorsInn=π.N

Exercice 4 .—
x

12x xt
−

1

2

1
−

2

+⋆

4

2.ZCx(t=−1R) sint dt=(t−1)(−cost)x−Zx(−cost)dt= (1−x) cosx+ sinx+
,I
3.ZxtArctant dt=12t2Arctantx−21Zx1t+2t2dt=12x2Arctanx+
1
2 Arctanx−2x+C,I=R
x
4.Z(t2−t+ 1)e−tdt=−(x2−x+ 1)e−x−(2x−1)e−x−2e−x+C,I=R.
5.Zx(t+ 1)cht dt=(t+ 1)shtx−Zxsht dt= (x+ 1)shx−chx+C,I=R.
6.Zxtsin3t dt=t(34cost11c2so3+t)x−Zxso4c3t3soc211+t dt=
xsco34(xs3co12+1x)−s4ni3xs6ni+313x.N

Exercice 5 .—
1.Z01Arctant dt4=π−n2l2
2.Z01ln(1 +t2)dt=2π+ ln 2−2
en+11
3.Z1etnlnt dt=enn++11 (n+ 1)2(+n+ 1)2
−
4.Z012Arcsint dt=1π2 +√23−1
1π1
5.Z0tArctant dt=4−2
6.Z1eπsin(lnt)dt1=+2eπ.)`(’aaledideuedPPxI

Exercice 6 .—

1.

u=√t
u2=t

Zxtdt3
√t+√

u
= 2Z√x1 +ud2

N

2.

3.

4.

5.

u= lnt

du=dt
t

u=et
lnu=t
du
=dt
u

Zxt+t(llntnt)2dt=Zlnxudu
1 +u2
=21ln(1+ln2x) +C I=R+⋆

Zxete2t=Zex
+ 1dt u d
u+ 1u
=ex−ln(1 +ex) +C I=R

u=√t2−1
±√u2 =+ 1t
±udu=dt
√1 +u2

u=√