Exercice N°134: Formules de Taylor

Description

⋆′⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Formules de Taylor +∞ 2n X In´egalit´es et encadrements x n 2. En d´eduire que pour tout r´eel x, cosx = (−1) (2n)! Exercice 1 : n=0 1.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: exercice-mpsi
• Nombre de lectures: 28
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

etent´esemencadrste´nIilag

Exercice 1 :
1.Montrezquepourtoutre´elx≥0,

x2x3
x− (1 +2 + 3x)3≤ln(1 +x)≤x

x2x3
−
2+3

Formules

2.Montrezquepourtoutr´eelx≥0, 0≤3√1 +x−1−3x+x92≤85x13
|x2
3.Montrezquepourtoutre´elx,|ex−1−x≤2e|x|.
4. Montrez que pour toutx∈[0;π2], 1−x22≤cosx≤1−x22+x244

noevgrneeced´sresieC
n poseun=nX(−1)k+1appliquant
Exercice 2 :Pour tout entiern∈N, ok. En
k=1
l’grLageanayeTr-loilagde´te´niitnoa`alofcnx7→ln(1 +x), montrez queunest
+∞+1
convergente vers ln 2,i.e.X(−1n)n 2.= ln
n=1

nk
Exercice 3 :Soitn∈Netx∈Ron noteun(x) =Xxk!
k=0
1.Ve´rifiezenutilisantla´ni’le´tilagedeTaylor-Lagrangeque

∀n∈N|ex−un(x)| ≤(|xn|+n+11)!e|x|

nxk+∞n
! =ex, i.e.Xx=x
2.De´duisez-enquepourtoutx∈R,nl→im+∞k=X0kn=0n!e 

2
Exercice 4 :Pour tout entiern∈N, on poseun(x) =k=Xn0(−1)k(x2kk)! .
|2n+1
1. Montrez que pour tout (n x)∈N×R,|un(x) cosx| ≤(|2nx+ 1)!
−

de Taylor

1

Semainedu12aoˆut2011

+∞2n
2.Ende´duirequepourtoutre´elx, cosx=nX=0(−1)n(x2 )!
n

n2k+1
Exercice 5 :Pour tout entiern∈N, on posevn(x) =k=X0(−1)k(2kx+ 1)! .
|vn(x)−s≤ |x|2n+2
1. Montrez que pour tout (n x)∈N×R, inx|(2n+ 2)!
2.End´eduirequepourtoutr´eelx, sinx=n+X=∞0(−1)n(2xn2n++11)!

useosiecllnaM
Exercice 6 :SoitIun segment et (x h)∈R2tel que [x−h x+h]]⊂I.
1. On suppose quef∈ C3(IR) et on noteM3= supI|f(3)|. Montrez que
f(x+h)−f(x−h)
2h f′(x)≤M3h62
−

2. On suppose quef∈ C4(IR) et on noteM4= supI|f(4)|. Montrez que
f(x+h)−2f(x) +f(x−h h2
h2)−f′′(x)≤M412

Exercice 7 :
1. En appliquant l’engraag-Lore´edaTly´ngelatiiitnenopxenoitcnoafal`,elle
montrez l’existence d’une constanteC >0 telle que pour tout entier naturel
non nuln∈N⋆tpourtoutr´eelex∈[01],

(1 +x2)1n−1− +1 ln(1x2)≤Cn2
n

2.De´terminezdeuxr´eelsaetbque pour tout entier naturel non nultels n∈N⋆,
Z1(1 +x2)1ndx=a+nb+o(1)
0n

Exercice 8 :Soitf:R→Rune fonction de classeC∞vri´etnafif(0) = 0. On
d´finit la fonctionϕ:R⋆→Rpar
e
f(x)
=
∀x∈R⋆ ϕ(x)x

1.

2.

Montrez queϕest de classeC∞surR⋆eee´enunorpegnolutpetrˆeetitnoofcn
continue surR,not´eeϕ˜.
Soitn∈N⋆. En appliquant lafdelemuornt´egraleaTlyrovaceertsieentre
xet 0, ainsi que laFormule de Leibnizmo,uttourpouezqrentlunnonlee´r
⋆
x∈R,
xn+1ϕ(n)(x) =Z0xtnf(n+1)(t)dt

3. Soitn∈N⋆. Montrez que la fonctionϕ(n)a pour limitef(n++1)1(0)
n
4.D´eduisez-enqueϕ˜ est de classeC∞surR.

en 0.

2