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Exercices d’algèbre bilinéaire – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Espace préhilbertien

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Ces courts exercices d'algèbre bilinéaire, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 3 séries : (1) Espace préhilbertien (2) Espace euclidien (3) Applications à la géométrie

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Publié le 01 janvier 2012
Nombre de lectures 249
Langue Français

Algèbre bilinéaire (1) : Espace préhilbertien

1. Prouver quehf gi=Z−11s11−+tft(t)g(t)dtdéfinit un produit scalaire dansR[X].
(0):h iest une application de(R[X])2dansR:
Soit(f g)∈(R[X])2eth=t7→r1+1−ftt(t)g(t).hestCMsur[−11[de signe inconnu.
nc|h(t)|=Ot→1r11−t!,
f gest continue sur le compact[−11]donc bornée en particulier sur[−11[do+t
r+11−ttt∼→1r12−tett7→(1−t)−12est une fonction de référence intégrable sur[−11[, donc
par comparaison,hl’est aussi.
(1):h iest linéaire à droite.
(2):h iest symétrique.
(3): Stricte positivité :
Soitf∈R[X]etl=t7→r1 +−ttf2(t).
1
lest à valeurs positives danshf fi ≥0.
Supposonshf fi= 0.lest continue à valeurs positives donc∀t∈[−11[ l(t) = 0et∀t∈]−11[ f(t) = 0.
fest un polynôme et s’annule sur un ensemble infini doncf= 0.
2. Déterminer l’orthonormalisée par la méthode de Schmidt de(1 X X2)dansR[X]muni de
7→Z+∞tP(t)Q(t
((P Q)e−)dt))
0
Il s’agit bien d’un produit scalaire (cf.1.). SoitNla norme associée.
Soite0= 1 e1=X e2=X2. On cherche(u0 u1 u2)orthonormalisée de Schmidt.
+∞
(On peut d’abord prouver que∀n∈NZtne−tdt=n!, formule très utile dans la suite).
0
+
N(e0) =Z0∞e−tdt= 1doncu0=e0= 1.
(u0 e1) =Z+0∞e−ttdt= 1.
Soitu01=e1−(u0 e1)u0=X−1.N(u01) = 1doncu1=X−1.
(u0 e2) =Z+0∞e−tt2dt= 2et(u1 e2) =Z+0∞e−t(t3−t2)dt= 4.
Soitu02=e2−(u0 e2)u0−(u1 e2)u1=X2−4X+ 2.N(u02) = 2doncu2=X2−42X+ 2.
3. Existence et calcul deinf2Z01(exp(t)−at−b)2dt.
(ab)∈R
1
On sait quehf gi=Zf(t)g(t)dtdéfinit un produit scalaire surE=C0([01]). SoitNla
0
norme associée.
F=V ect(1 Id)est un sous-espace de dimension finie (2) deEetexp∈EdoncN(exp−pF⊥(exp)) =fm∈iFnN(exp−f).
Le résultat demandé existe et est(N(exp−pF⊥(exp)))2. CherchonspF⊥(exp))2=h.
h=t7→at+bvérifie(exp−h⊥1etexp−h⊥Id).
hee−1−a2−b= 0a=−1801−6+e4e
hepxxp−−Ihh1idi==Z0Z10(1expxp((et()t)−−ttaa−−b)b)dttd=t0=0⇐⇒1−a3−2b= 0⇐⇒b=
d’oùh.
xp−hexpi−hexp−h hi=hexp−hexpi−0 7e220e−(275'0004).
(N(exp−pF⊥(exp))2=he =−2 +
4. Soitfde classeC2de[0 1]dansRtelle quef(0) =f(1) = 0etf0(0) =a.
finZ01(f”(t))2dtet les fonctionsfpour lesquelles ce minimum est atteint.
Déterminerm
1
(On pourra intégrer par partieZf”(t)(1−t)dt)C6-092
0

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Algèbre bilinéaire (1) : Espace préhilbertien

1
Z0
f”∈ C0[01]et(t7→1−t)∈ C1[01]donc on peut intégrer par partie et il vientf”(t)(1−t)dt=−a
f”et(t7→1−t)sont sansC0[01]donc, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwartz :
(∗)a2=Z10f”(t)(1−t)dt2≤Z10(f”)2 Z01(1−t2)dt31=Z01(f”)2

ieZ1(f”)2≥3a2, et c’est une égalité ssi(f” t7→1−t) est-ce possible pour ;est une famille liée
0
une fonctionfayant les propriétés demandées ?
t7→1−tn’est pas la fonction nulle. Soitf∈ C2([01])telle quef(0) = 0etf0(0) =a.
1−t)⇐⇒f=t7→λt2−t63+atdonc(∗)est une égalité ssi
∀t∈[01] f”(t) =λ2(
f=t7→λt22−t63+atetf(1) = 3λ+a= 0, donc le minorant3a2est bien atteint pour
3
f=t7→ −3at22−t+atet il s’agit du minimum.
6

5. Existence de la série de Fourier et calcul du terme général pour la fonctionf: (t∈[0 π]7→chtx),
fimpaire et2π−périodique (xest une constante réelle).
La fonctionfestCM(R)et2π−périodique donc admet une série de Fourier.fétant de plus
π
impaire, le TG est :un=t7→bnsinntpourn≥1et∀n≥1 bn24=πZf(t) sinntdt.
0
n πx
bn= 1πImZπ(ext+e−xt)eintdt=π1Im(−1x+)ein−1 + (−1)−nxe−+πixn−1 sin= 2πhπx(x2−1)+nnn2
0

6. Prouver que(f7→Z01)f(112surC1([01]R)e
f02+f(0 )st une norme euclidienne.
1
[SiN(f) = 0, alorsZ01f02=−f(0)f(1)or(Z01f0)2≤Z0f02(Cauchy-Schwarz) d’oùf(0) =f(1) = 0
etf= 0]
7. SoitEun espace euclidien etfun endomorphisme deEtel que :∀x∈Ekf(x)k ≤ kxk.

(a) Démontrer que :E= ker(f−Id)⊕Im(f−Id).
(b) Pourx∈Eetn∈N?, on pose :un(x) =n(1x+f(x) +f2(x) ++fn−1(x)); démontrer que la suite
(un(x))converge vers la projection orthogonale dexsur Ker(f−Id).B1-78
[(a) : Sif(x) = 0etx=f(y)−y, alors∀t∈Rkf(tx+y)k2≤ ktx+yk2... doncx= 0;
x=x1+f(u)−ud’oùun=x1+fn(u)n−un]
8. SoitE=C1([01]R)etϕ(f g) =Zf g+f0g0
[01]
(a) Montrer queϕest un produit scalaire.
(b) SoitV={f∈Ef(0) =f(1) = 0}etW={f∈Ef” =f}. Montrer queVetWsont des
supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale surW.
(c) SoitEαβ={f∈Ef(0) =αetf(1) =β}. Déterminerf∈inEfαβZ01]f2+f02.b1-006
[
[(b) :p⊥W(f) =t7→aet+be−taveca=e2−−11f(0) +e2e−1f(1)etb=e2e2−1f(0)−e2e−1f(1);
(c) : soith=t7→α+(β−α)t, on cherchei∈nfVkh−gk2=kh−pV⊥(f)k2=kp⊥W(h)k2= (α−eβ)e22+−(1αe−β)2]
g

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Algèbre bilinéaire (1) : Espace préhilbertien

9. On se donne une suite(an)bornée à termes dansR∗+etE=R[X].
(a) A tout couple(P Q)∈E2, on associe la série de terme généralun=a2nnP(n)Q(n). Démontrer la convergence
de cette série.
+∞
(b) Démontrer quehP Qi=Xa2nnP(n)Q(n)définit un produit scalaire surE.
0
(c) Si l’on avait seulement(an)à termes dansR+, à quelle conditionhP Qidéfinirait-il encore un produit
scalaire ?
(d) On suppose maintenant∀n an= 1et on désigne parN1la norme associée au produit scalaireh i. Est-elle
équivalente à la normeN2définie parN2(P) = sup|P(x)|?
x∈[01]

d
[(a) :un=O2(nn)pour und∈N; (c) : Si(an)est bornée, à termes dansR+et a une infinité de termes
non nuls ; (d) Non (PourPk=Xk, on aN2(Pk) = 1etN1(Pk)≥2k−1pour toutk)]
10. SoitEun espace préhilbertien, soitnvecteurs(x1 x2  xn)dansE.
On suppose que∀(i j)∈[1 n]2i6=j⇒ kxj−xik ≥2et que∀i∈[1 n]kxik ≤R.
r2n
Montrer queR≥n−1.
n
[(xi|xj)≤R22puiskXxik2≥0donne le résultat.]

1
11. SoitEun espace préhilbertien réel et(e1 e2  en)un système de vecteurs unitaires deEtels que :
n
∀x∈Ekxk2=X(x|ei)2.
i=1
Démontrer que(e1 e2  en)est une base orthonormale deE.Centrale
n
[x=ejprouve que la famille est orthogonale etx−X(x|ei)eiest de norme nulle donc la famille est
1
génératrice.]
12. Montrer que(P|Q=)21πZ02πP(eit)Q(eit)dtmunitCn[X]d’une structure d’espace hermitien et que la base
canonique est orthonormale.
SoitAun polynôme non nul de coefficient dominanta. Montrer quesup|A(z)| ≥ |a| ?. Quand a-t-on égalitéMines
|z|=1

[Majorer et d’autre part calculer par Pythagore(A|A).
Egalité ssiAest un monôme.]
13. Soit l’espace vectoriel euclidienE=Rnmuni du produit scalaire canonique et de la base canonique(e1 e2  en).
On poseH=(x= (x1 x2  xn)∈Ei=Xn1= 0)Déterminer la distance euclidienne dee1àH.
xi.
Mme question avecH0=(x= (x1 x2  xn)∈EnX(−1)ixi= 0).Centrale

i=1
[√nn]
4
14. SoitE=R1[X]muni dehP Qi=XP(i)Q(i).
0
Démontrer queEest un espace euclidien. Orthonormaliser la famille(1 X X2).
On considère les pointsAi= (xi yi)définis par :A0= (01) A1= (12) A2= (21) A3= (32) A4= (44).
Démontrer qu’il existe un polynômePet un seul dansEtel que∀i∈[04]P(xi) =yi. Déterminer la
projection orthogonaleP1dePsurR2[X]. InterpréterP1.
[√15 X√1−20 X2−√441X+ 2.
3X23
P1(X7)359X543+5.]
=−

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

B1-97

B1-91

B1-68

b1-058

b1-001

b1-24

Algèbre bilinéaire (1) : Espace préhilbertien

15.

16.

Démontrer que(a1anZ1
)7→(1 +a1x+a2x2++an
0
Valeur de ce minimum ?

[(n1)1+2]

xn)2dxadmet un minimum atteint en un point unique.

Existence de la série de Fourier et calcul du terme général pour les fonctions suivantes :
(a)f(x) =x(π−x)pour0< x < πetfestπ−périodique.
(b)f(x) = sinαxpour|x|< π,αest une constante,α∈N,fest2π−périodique.
(c)f(t) = sup(asinωt0)avec(a ω)∈(R∗+)2.

[(a) :−8πk=+X∞0is(2(nk2k1)+1+3)t; (b) :π(2α(2−−1)nn2) sinαπsinnx; (c) :aπ+a2 sinωt−2πak+X∞14k21− 21 coskωt.]
=

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

B1-099

d4-17/3/9/23