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Exercices d’algèbre bilinéaire – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Espace euclidien

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Ces courts exercices d'algèbre bilinéaire, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 3 séries : (1) Espace préhilbertien (2) Espace euclidien (3) Applications à la géométrie

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Publié le 01 janvier 2012
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Langue Français

Algèbre bilinéaire (2) : Espace euclidien

Les incontournables :
1. Prouver que(A B)7→tr(tAB)est un produit scalaire surMnp(C).
tA∈Mpn(C)donctABexiste dansMpp(C)et tr(tAB)existe dansC.
On peut prouver les caractères linéaire-à-droite et hermitien mais c’est superflu. En effet :
n n
SoitA0=tAetC=A0B. Les termes généraux sontai0j=ajietcij=Xa0ikbkj=Xakibkj
k=1k=1
et tr(tAB) =Xakibkidonc il s’agit du produit scalaire usuel sur leC−espace
(ki)∈[1n]×[1p]
de dimensionn×passocié à la base(Eki)(ki)∈[1n]×[1p].
2. SoitFetGdes sous-espaces deEeuclidien.
Prouver que(F⊥)⊥=F(F+G)⊥=F⊥∩G⊥(F∩G)⊥=F⊥+G⊥.
Soitx∈F. Pour touty∈F⊥:hx yi=hy xi(symétrie)= 0, doncx∈(F⊥)⊥d’où l’inclusion
(1) :F⊂(F⊥)⊥. De plusdim((F⊥)⊥) =n−dim(F⊥) =n−(n−dimF) = dimFd’où(1)est
une égalité.
Soitx∈F⊥∩G⊥. Pour touty∈F+G:hx yi=hx y1+y2ioù(y1 y2)∈F×Gdonc
hx yi=hx y1i+hx y2i= 0 + 0d’où l’inclusion(2) :F⊥∩G⊥⊂(F+G)⊥.
En appliquant cette inclusion àF⊥etG⊥, il vient(F⊥)⊥∩(G⊥)⊥⊂(F⊥+G⊥)⊥ieF∩G⊂(F⊥+G⊥)⊥
or pour tousA Bsous-ev deE,A⊂B⇒B⊥⊂A⊥d’où l’inclusion(3) :F⊥+G⊥⊂(F∩G)⊥.
dimF⊥∩G⊥= dimF⊥+ dimG⊥−dim(F⊥+G⊥)≥dimF⊥+ dimG⊥−dim((F∩G)⊥)donc
dimF⊥∩G⊥≥(n−dimF) + (n−dimG)−(n−dim(F∩G)) =n−dim(F+G) = dim((F+G)⊥)
donc(2)est une égalité (et donc(3)aussi).
3. SiB∈Mnp(R), prouver que rg(tBB) =rg(B) =rg(BtB).
Soitu∈L(RpRn)canoniquement associée àBetv∈L(RnRp)canoniquement associée à
tB.
On a l’inclusion ker(1) :u⊂kerv◦u.
Inversement, soitx∈kerv◦utBBX= 0RpdonctX(tBBX) = 0R=t(BX)(BX) = (kBXk2)2
doncBX= 0Rniex∈kerudonc(1)est une égalité.
D’après le thm du rang, rg(tBB) =rg(v◦u) =p−dim ker(v◦u) =p−dim keru=rgu=rgB.
En remplaçantBpartB: rg(BtB) =rg(tB)et on sait que rgB=rgtB.
4. SoitAune matrice symétrique réelle. Prouver que sp(A)⊂R+∀⇐⇒X∈Mn1(R)tXAX≥0.
Supposons sp(A)⊂R+et soitX∈Mn1(R).
Aadmet une diagonalisation en BON de la formeA=P DtPoùP∈On(R)etDest diagonale
n
donctXAX=t(P X)D(P X) =Xλiyi2en notantY=P X, et∀i λi≥0donctXAX≥0.
i=1
Supposons∀X∈Mn1(R)tXAX≥0et soitλ∈sp(A).
Il existe un vecteur propreX∈Mn1(R)\0associé àλettXAX≥0.
tXAX=tX(λX) =λ(kXk2)2≥0et(kXk2)2>0(stricte positivité dekk2) doncλ≥0.
5. Soituun endomorphisme symétrique d’un espace euclidienE. Prouver quekeru= (Im(u))⊥
et Imu= (ker(u))⊥.
Soitx∈keru. Pour touty∈Imu:hx yi=hx u(z)ioùz∈Edonchx yi=hu(x) zi(symétrie
deu)=h0 zi= 0d’oùx∈(Im(u))⊥.
On a donc prouvé l’inclusion :(1) : keru⊂(Im(u))⊥.
dim((Im(u))⊥) =n−dim(Imu) = dim kerudonc(1)est une égalité.
La 1ère relation prouvée dans l’exo 2. permet d’en déduire la 2ème relation.
6. Soita bdans un espace euclidienEtels quekak=kbketa6=b. Prouver qu’il existe une
réflexionret une seule telle quer(a) =b.
SoitD=V ect(b−a)etH=D⊥. On remarque queha+b b−ai=kbk2− kak2= 0doncDest
une droite (a6=b),Hest un hyperplan, eta+b∈H.
Soitrune réflexion telle quer(a) =b.r◦r=Iddoncr(b) =aetr(b−a) =a−bdoncrest la
réflexion de directionDdonc par rapport àHce qui prouve l’unicité.
Soitrla réflexion par rapport àH.r(b−a)(=r(b)−r(a)) =a−betr(a+b)(=r(a)+r(b)) =a+b
donc en résolvant le système,r(a) =b(etr(b) =a)d’où l’existence.

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Algèbre bilinéaire (2) : Espace euclidien

7.

8.

Résoudre dansMnn(R)l’équationMtM M=In.CCP-Centrale
SoitM∈Mnn(R)tel queMtM M=In.
tM(MtM M) =tM= (tM M)2orN=tM Mest une matrice symétrique donctM=N2
(ouM) est symétrique.
MtM M=Indevient doncM3=InetMadmet une diagonalisation en BON de la forme
M=P DP−1oùP∈On(R)etDest diagonale réelle doncD3=Indonc∀i∈[1 n] λi3= 1
donc∀i∈[1 n] λi= 1(Dest réelle) ieD=InetM=In.
SoitM=In. Elle vérifie bienMtM M=In.
Par double implication, on a prouvé l’équivalenceMtM M=In⇐⇒M=In.
Pour(P Q)∈(Rn[X])2, soithP Qi=Z−11s11−+tPt(t)Q(t)dt. Démontrer qu’on définit ainsi
un produit scalaire surRn[X].
PourP∈Rn[X], on pose[φ(P)](t) = (t2−1)P00(t) + (2t+ 1)P0(t).
Démontrer queφest un endomorphisme symétrique deRn[X]et déterminer ses valeurs
propres.

b1-100

B1-61

h iun produit scalaire (cf Algèbre bilinéaire (1)-exo 1.)est
SoitP∈Rn[X].Φ(P)existe et est un polynôme. De plusdeg((t2−1)P”(t))≤netdeg((2t+1)P0(t))≤n
doncΦ(P)∈Rn[X]. Et la dérivation est linéaire doncΦaussi, d’oùΦ∈L(R[X]).
Soit(P Q)∈(Rn[X])2.
hΦ(P) Qi=Z−11r11−+tt((t2−1)P00(t) + (2t+ 1)P0(t))Q(t)dt.
Soitc∈]−11]Zc1r11−+tt(t2−1)P00(t)Q(t)dt="r11−+tt(t2−1)P0(t)Q(t)#1−Aoù
c
A=Zc1(1−t)32(1 +t)12Q0(t)+3(21−t)12(1 +t)12Q(t)−(112−t)32(1 +t)−12Q(t)P0(t)dt.
A=Zc1((1−t)32(1 +t)12Q0(t) + (2t+ 1)(1−t)12(1 +t)−12Q(t))P0(t)dtdonc on peut "passer
à la limite dans l’IPP" et il ne reste que :
hΦ(P) Qi=−Z1
(1−t)32(1+t)12Q0(t)P0(t)dt, expression symétrique en(P Q), donchΦ(P) Qi=hPΦ(Q)i.
0
Φ(1) = 0Φ(X + 2) = 1Xet sij∈[2 n], alorsΦ(Xj) =j(j+ 1)Xj+jXj−1−j(j−1)Xj−2
donc la matrice deΦdans la base usuelle deRn[X]est triangulaire supérieure de diagonale
S= (j(j+ 1))j=0ndoncSest le spectre deΦ. (t7→t(t+ 1)étant strictement croissante sur
R+, il s’agit den+ 1valeurs propres distinctes)

Pour aller plus loin :
9. SoitEun espace euclidien etnsa dimension. A toute famille(xi)1≤i≤pde vecteurs deEon associe la ma-
triceG(x1  xp)∈ Mpp(R)de terme généralhxi|xjiet le déterminant Gram(x1  xp) = det(G(x1  xp)),
appelés respectivement matrice de Gram et déterminant de Gram de la famille(x1 x2  xp).
(a) Démontrer que rang(G(x1 x2  xp)) =rang(x1 x2  xp).
Démontrer que, si(x1 x2  xp)est libre, Gram(x1 x2  xp)>0.
(b) SoitFun sous-espace deE,psa dimension et(e1 e2  ep)une base deF.
Démontrer que :∀x∈Ed(x F)2=armmarGG(x(e1e1e2e2epe)p).
En déduire que∀p∈N?∀(x1 x2  xp)∈EpGram(x1 x2  xp)≤ kx1k2kxpk2. (Inégalité de
Hadamard) Etudier les cas d’égalité.b1-44

10.Eest un espace euclidien. Prouver que, sipetqsont deux projecteurs orthogonaux deE, alorsp◦qest
diagonalisable.
On pourra prouver successivement :
– quep◦q◦pest diagonalisable,

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Algèbre bilinéaire (2) : Espace euclidien

– que toute valeur propre non nulleλdep◦q◦pest valeur propre dep◦qetEλ(p◦q◦p)⊂Eλ(p◦q),
– que rg(p◦q)≤rg(p◦q◦p).
11. Soitf:Rn→Rnvérifiant∀(x y)∈(Rn)2kf(x)−f(y)k=ky−xketf(0) = 0.
Montrer quefest un automorphisme orthogonal.Centrale

Pour s’entraîner :
12. On munitE=Rn[X]du produit scalaire : PourP=XaiXietQ=XbiXi(P|Q) =Xaibi.
i i i
SoitH={P∈EP(1) = 0}.
(a) Trouver une base orthonormée deH.
(b) Calculerd(X H).
13. SoitR3considéré comme un espace euclidien orienté. On noteUla sphère unité :U={X∈R3;kXk= 1}.
5
(a) SoitB=46445141!. Montrer que∀X∈R3\ {0}tXBX >0.
On définitg:XU→7→tXRBX. Montrer quegatteint un minimum positif que l’on calculera.

(b) Montrer que∃!S∈M3(R) S2=Bet∀X∈R3tXSX >0
f:R3→R
2x z.
(c) Soit(x y z)7→y+ 2y
5x2+ 5y2+ 6z2+ 2xy+ 8xz+ 8yz
Montrer quefest bien définie et qu’il existe une matrice réelle symétriqueTtelle que :
∀X=yx!∈R3\ {0} f(x yt XX T1
zz) =tX11X1

(d) En déduire que cette fonction est bornée, atteint ses bornes et les calculer.
Centrale
14. SoitEun espace euclidien etpun projecteur deE. Démontrer l’équivalence des propriétés :
–pest un projecteur orthogonal
–∀x∈Ekp(x)k ≤ kxk
–∀(x y)∈E2hp(x)|yi=hx|p(y)i.
15. SoitA∈Mn(R)telle queA3+A2+A= 0. Montrer que, siAest symétrique,A= 0.CCP
1
16. Démontrer que(f g)7→ hP Qi=Zf(t)g(t)dtest un produit scalaire surR[X].
−1
Soitf:P7→(X2−1)P” + 2XP0. Démontrer quefest un endomorphisme deR[X]vérifiant

∀(P Q)hf(P) Qi=hP f(Q)i

et queRn[X]est stable parf.
Démontrer l’existence d’une base orthonormale(L0 L1∙ ∙ ∙ Ln∙ ∙ ∙)de vecteurs propres def. Démontrer que
∀n∈N∃(an bn cn)∈R3Ln+1= (anX+bn)Ln+cnLn−1

Centrale-CCP
itA=213321141!. Montrer qu’il existe une matrice triangulaire supérieureTet une matrice orthogonaleS
17. So
telles queA=T S.CCP
18. SoitEeuclidien de dimension≥3,(a b)libre de deux éléments unitaires deune famille E. On définitf:E→E
par :
∀x∈E f(x) =ha xia+hb xib
Montrer quefest un endomorphisme symétrique deE.
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres def.
19. SoitM∈GLn(R) a∈R∗tel quetM=M−1+aInetB=tM M.
Montrer queBest symétrique.
Montrer queMest diagonalisable.
Déterminer un polynôme annulateur deM.CCP

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b1-011

B1-92

b1-005

b1-019

B1-28
b1-47

b1-042

b1-033

B1-103

b1-012

Algèbre bilinéaire (2) : Espace euclidien

20.

(a) Montrer queϕ: (X Y)7→tr(tXY)est un produit scalaire.
(b) On noteC(A) ={X∈Mn(R) AX=XA}. On introduitf:

Montrer l’équivalence des deux propriétés suivantes :
(1) Il existeX0∈Mn(R)tel queB=AX0−X0A.
(2) Quel que soitX∈C(A)tr(BX) = 0.
Mines

Mn(R)
X


7→

Mn(R)
AX−XA.

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