Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Espaces vectoriels et applications linéaires : énoncés

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Catherine Laidebeure

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01 janvier 2012

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Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Algèbre linéaire

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINEAIRES Exercice 1 Dans4, on considère les vecteursv1=) et1,1,1(1,v2=(2,1,0,3) , et l’ensemble : F=(x,y,z,t)∈4/x−y+2z+t=0 etx−3y−8z−t=0 1) Démontrer queFest un sous-espace vectoriel de4. 2) Montrer queF (admet une famille génératricev3,v4 Montrer que c’est une base) . du sous-espace vectorielF. 3) (La famillev1,v2 libre ou liée ?) est-elle 4) Déterminer une équation du sous-espace vectorielG de4 engendré par les vecteursv1etv2. 5) (Montrer quev1,v2,v3,v4 une base de) est4. Exercice 2 1 1 Dans l’espace vectoriel2() , on considère les matricesM1= et 0 1  M2=10−01, et l’ensemble :F=aa−+abb2a++3bb/ (a,b)∈2 1) Démontrer queFest un sous-espace vectoriel de2() . 2) Montrer queF admet ( une famille génératriceM3,M4 Montrer que c’est une) . base du sous-espace vectorielF. 3) (La familleM1,M2 libre ou liée ?) est-elle 4) Déterminer le sous-espace vectorielGde2( par les matrices) engendréM1etM2. 5) Montrer que (M1,M2,M3,M4 une base de) est2() .

Exercice 3 Dans l’espace vectoriel3[X on considère les polynômes] ,Q1(X)=X3+X+1 et Q2(X)=X2−X+1 , et l’ensembleF= {P∈3[X] /P(1)=P(0)=0}. 1) Démontrer queFest un sous-espace vectoriel de3[X] . 2) Déterminer la forme générale des polynômes appartenant àF. En déduire une famille génératrice (Q3,Q4) deF, puis une base deF. 3) (La familleQ1,Q2) est-elle libre ou liée ? 4) Déterminer le sous-espace vectorielGde3[X] engendré par les polynômesQ1etQ2. 5) Montrer que (Q1,Q2,Q3,Q4 une base de) est3[X] .

Exercice 4 Dans l’espace vectoriel des suites réelles définies sur, on considère l’ensembleF des suites qui vérifient :∀n∈ un+2=3un+1−2un. 1) Montrer queF .est un sous-espace vectoriel de 2) Déterminer l’expression du terme généralunen fonction den,u0etu1. 3) Montrer queFadmet une famille génératrice (v,w) . 4) (Montrer quev,w une base de) estF.

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

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