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Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Réduction des endomorphismes et des matrices : énoncés

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Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Publié le 01 janvier 2012
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Langue Français
Algèbre linéaire  
1
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES  Exercice 1 2 1 11) Déterminer les valeurs propres de la matriceA=111212. 2) Déterminer les sous-espaces propres associés à chacune de ces valeurs propres. 3) La matriceAest-elle diagonalisable ? 4) CalculerAn. Exercice 2
SoitE un espace vectoriel de base=(e1,e2,e3 de l’endomorphisme) etE de 46 0matriceA=6 7 2 dans la 0 22base. 1)  du vecteurDéterminer l’image paru= −2e1+e2+2e3. 2) Déterminer le noyau de . 3)  Déterminer le sous-espace propre associé.Montrer que 2 est valeur propre de . 4)  estMontrer quedéterminer une base de vecteurs propres. diagonalisable et Exercice 3 (d’après ESC 2002 voie E) On considère un paramètre réelm. Soitf de l’endomorphisme3 qui a pour matrice dans la base canonique de3:A=22222+2mm22+2mm. 1) Montrer que, quel que soit le réelm, 0 est valeur propre def. 2) Montrer que2et3ne dépendent pas dem. Les comparer. 3) En déduire que 0 et 2 sont les seules valeurs propres possibles def. 4) Montrer que, quel que soit le réelm, 2 est valeur propre def. 5) Dans cette question, on suppose quem=0 . a) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =2 . b) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =0 . c) La matriceAest-elle diagonalisable ? 6) Dans cette question, on suppose quem0 . a) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =. 2 b) Déterminer le sous-espace propre defassocié àλ =0 . c) La matriceAest-elle diagonalisable ? d) Montrer que les vecteursu=(0,1,1) ,v=(1,1,1) etw=(1,0,1) forment une base de3et déterminer la matriceBdefdans cette base. e) Montrer qu’il existe une matricePinvP1AP=000010. ersible telle que0 0 2
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