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Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Suites numériques : énoncés

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Description

Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Publié le 01 janvier 2012
Nombre de lectures 1 142
Langue Français

Analyse 1
SUITES NUMERIQUES

Exercice 1
n2n +1 4n + 3
1) Démontrer par récurrence que : ∀n ∈* n ≤ k ≤ n . ∑
3 6k=1
n
2) En déduire un équivalent de S = k quand n tend vers l’infini. n ∑
k =1
Exercice 2
On définit deux suites (u ) et (v ) par leurs premiers termes u = 1 et v = 2 , et par n n 0 0
u = 2u + 3v n+1 n nles relations de récurrence : ∀n ∈ . 
v = 2u + v n+1 n n
1) Exprimer u en fonction de u et de u . n+2 n+1 n
2) En déduire le calcul de u , puis de v en fonction de n. n n
Exercice 3 (d’après ESSEC voie E)
Soit (u ) la suite définie par u = 1, u = 2 , u = 6 et ∀n ∈ u = 3u − 2u . n 0 1 2 n+3 n+1 n
1) Soit q un réel. On définit la suite (v ) par : ∀n ∈ v = u − qu . Exprimer n n n+1 n
v en fonction de v , v et u . n+2 n+1 n n
2) En déduire qu’il existe deux valeurs de q pour lesquelles la suite (v ) suit une n
récurrence linéaire d’ordre 2. On notera (v ) et (v' ) les deux suites obtenues. n n
3) En déduire l’expression de v et v' en fonction de n. n n
4) En déduire l’expression de u en fonction de n. n
Exercice 4
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b . On définit deux suites (u ) et (v ) par n n
2u v u + vn n n nu = a et v = b , et les relations : ∀n ∈ u = et v = . 0 0 n+1 n+1u + v 2n n
1) Montrer que : ∀n ∈ 0 < u ≤ v . n n
2) En déduire le sens de variations des suites (u ) et (v ) . n n
1
3) Montrer par récurrence que : ∀n ∈ 0 ≤ v − u ≤ (b − a) . n n n2
4) Montrer que les deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
5) Montrer que la suite de terme général u v est constante. En déduire les limites des n n
suites (u ) et (v ) en fonction de a et b. n n
6) En déduire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer une valeur
−9
approchée à 10 près de 6 .
Exercice 5 (EDHEC 1996 voie S)
π 
Dans cet exercice, x désigne un réel de l’intervalle 0, .  2 
 x 
1) Soit la suite réelle (u ) définie par u = cos x et : ∀n ∈ u = u cos .  n 0 n+1 n n+1
2 
x 
a) Montrer que la suite de terme général v = u sin est géométrique.  n n n2 
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 2
b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de u en fonction de x et n. n
c) Montrer enfin que la suite (u ) est convergente et donner sa limite. n
2) On considère le programme suivant qui permet le calcul des (n +1) premiers
termes de deux suites (a ) et (b ) : n n
Program Suites ;
var x, a, b : real ;
k, n : integer ;
Begin
Readln(x) ;
Readln(n) ;
a := 1 ;
b := 1 / cos(x) ;
For k := 1 to n do
begin
a := (a + b) / 2 ;
b := sqrt(a * b) ;
end ;
Writeln(a, b) ;
End.
a) Préciser leurs premiers termes a et b en fonction de x. 0 0
b) Calculer a et b en fonction de x. 1 1
c) Ecrire, pour n ∈* , les relations de récurrence liant a , b , a et b . n n n−1 n−1
d) Montrer que, pour tout entier naturel n, a > 0 et b > 0 . n n
an
3) a) Etablir que : ∀n ∈ * b − a = (b − a ) . n n n−1 n−1
2( b + a )n−1 n
b) Montrer que : ∀n ∈ a < b . n n
c) En déduire les variations des suites (a ) et (b ) . n n
1 1 
d) En utilisant le 3) a), montrer que : ∀n ∈ 0 < b − a ≤ −1 .  n n n
2 cos x 
e) En déduire que les suites (a ) et (b ) sont convergentes et ont la même limite l . n n
x 
u cos n n u2  n4) a) Montrer que, pour tout n ∈ , on a : a = et b = . n n2 2cos x cos x
b) En déduire la valeur de l .
Exercice 6 (Mines 2001)
La dernière partie de cet exercice fait appel aux espaces vectoriels.
Dans tout l’exercice, on considère un réel a non nul et un polynôme P ∈[X ] .
Soit (u ) une suite réelle qui vérifie : ∀n ∈ u = au + P(n) n n+1 n
Partie A
On suppose dans cette partie que a = 1.
n−1
1) En calculant (u − u ) , déterminer pour tout n ∈* l’expression de u en ∑ k+1 k n
k=0
fonction de n, u et des valeurs prises par P. 0
2) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
3 2par : u = −3 et ∀n ∈ u = u + 4n − 6n + 2n + 5. 0 n+1 n
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 3
Dans la suite de l’exercice, on suppose a différent de 0 et de 1.
Partie B
On suppose dans cette partie que P est le polynôme nul.
1) Préciser la nature de la suite (u ) et en déduire l’expression de u en fonction de n n
n, a et u 0
2) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u . 0 n+1 n
Partie C
On suppose dans cette partie que P est un polynôme constant : P(X ) = b .
1) Préciser la nature de la suite (u ) et en déduire l’expression de u en fonction de n n
n, a, b et u 0
2) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u + 5 . 0 n+1 n
Partie D
On suppose dans cette partie que P est un polynôme de degré 1 : P(X ) = bX + c .
1) Montrer qu’il existe un polynôme Q(X ) = rX + s tel que la suite de terme général
v = u − Q(n) soit géométrique. n n
2) En déduire l’expression de u en fonction de n, a, b, c et u . n 0
3) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u + 5n − 4 . 0 n+1 n
Partie E
k k On suppose dans cette partie que : P(X ) = (X +1) − aX où k ∈*.
kv = u − n1) Déterminer la nature de la suite de terme général . n n
2) En déduire l’expression de u en fonction de n, k, a et u . Cette expression est-n 0
elle encore valable si k = 0 ?
3) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie n
3 2
par : u = −3 et ∀n ∈ u = 2u − n + 3n + 3n +1. 0 n+1 n
Partie F
On étudie maintenant le cas général, donc on suppose que P est un polynôme de degré
p ≥ 1 et (u ) une suite réelle qui vérifie : ∀n ∈ u = au + P(n) . n n+1 n
k k1) Pour tout k ∈ , on définit le polynôme : P (X ) = (X +1) − aX . k
a) Déterminer le degré du polynôme P . k
b) En déduire que les polynômes P , P , …, P sont linéairement indépendants. 0 1 p
p
c) En déduire qu’il existe des coefficients α tels que : P(X ) = α P (X ) . k ∑ k k
k=0
(k )
2) Montrer qu’il existe des suites (u ) pour k ∈P0, pT qui vérifient : n
p
(k ) (k ) (k )∀n ∈ u = α u et ∀n ∈ u = au + P (n) . n ∑ k n n+1 n k
k =0
3) Application : Calculer en fonction de n le terme général de la suite (u ) définie par : n
3 2u = −3 et ∀n ∈ u = 2u + 2n + 3n − n + 4 . 0 n+1 n

Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 4
Exercice 7
n k 
On considère la suite (u ) définie par : ∀n ∈* u = 1+ .  n n ∏ 2n k=1
1) Ecrire un programme en Turbo-Pascal demandant à l’utilisateur un entier n et
affichant la valeur de u . n
2x+2) Montrer que : ∀x ∈ x − ≤ ln(1+ x) ≤ x .
2
2 nn +1 2n + 3n +1 k n +1 
3) En déduire que : ∀n ∈ * − ≤ ln 1+ ≤ . ∑  3 22n 2n12n n k=1
n k 
4) En déduire la limite de v = ln 1+ quand n tend vers + ∞ .  n ∏ 2n k =1
5) En déduire la limite de u quand n tend vers + ∞ . n
Exercice 8 (d’après ESSEC 88 voie S)
n 1
On considère la suite définie par : ∀n ∈ * H = n ∑
kk =1
Partie A
1) Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l’utilisateur un entier n et qui
affiche la valeur de H . n
1 1
2) Démontrer que : ∀x ∈]0,+∞[ ≤ ln(x +1) − ln x ≤ .
x +1 x
3) En déduire que : ∀n ∈ * ln(n +1) ≤ H ≤ ln n +1. n
4) En déduire la limite de H et un équivalent de H quand n tend vers l’infini. n n
Partie B
On considère les suites définies par : ∀n ∈ * u = H − ln n et v = H − ln(n +1) . n n n n
1) Etudier le sens de variations des suites (u ) et (v ) . n n
2) En déduire que les deux suites (u ) et (v ) ont une limite commune. Cette limite, n n
notée γ , s’appelle la constante d’Euler.
1
3) Démontrer que : ∀n ∈ * H − ln n − ≤ γ ≤ H − ln n . n n
n
4) En déduire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l’utilisateur un réel ε > 0
et qui calcule une valeur approchée de à ε près. γ
Partie C
x x
Soit f la fonction définie sur [0,+∞[ par : f (x) = + − ln(1+ x) .
2 2(x +1)
2
x
1) Démontrer que : ∀x ∈[0,+∞[ 0 ≤ f '(x) ≤
2
3
x
2) En déduire que : ∀x ∈[0,+∞[ 0 ≤ f (x) ≤ .
6
1 1 1
3) Pour tout entier k ≥ 2 , démontrer que : ≤ − .
3 2 2
k 2(k −1) 2k
n+ p 1 1 
4) En déduire que, pour tous les entiers n ≥ 2 et p ≥ 0 : 0 ≤ f ≤ .  ∑ 2k 12(n −1) k =n
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 5
Partie D
1
On considère la suite définie par : ∀n ∈ * w = H − ln n − . n n
2n
n+ p
1) Justifier que, pour tout entier n ∈* : lim (w − w ) = γ − w . ∑ k+1 k n
p→+∞
k =n
1 
2) Exprimer w − w en fonction de f pour tout entier k ∈*.  k+1 k
k 
1 1 
3) En déduire que, pour tout entier n ≥ 2 : 0 ≤ γ − H − ln n − ≤ .  n 22n 12(n −1) 
4) En déduire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l’utilisateur un réel
ε > 0 et qui calcule une valeur approchée de γ à ε près plus rapidement que dans
la partie B.
Exercice 9 (d’après ECRICOME 2003 voie T)
x1) Etudier les variations de la fonction f définie par : f (x) = x + 2 − 2ln(e +1) .
2) On définit la suite (u ) par u = 0 et : ∀n ∈ u = f (u ) . n 0 n+1 n
a) Si la suite (u ) converge, quelle est la seule limite α possible ? n
b) Montrer que : ∀n ∈ u ∈[0,1] . On donne : ln 2 ≈ 0,7 et ln(e +1) ≈ 1,3. n
e −1
c) Montrer que : ∀x ∈[0,1] f '(x) ≤ .
e +1
e −1
d) En déduire que : ∀n ∈ u − α ≤ u − α . n+1 n
e +1
n
e −1 
e) Montrer que : ∀n ∈ u − α ≤ .  n e +1 
f) En déduire la convergence de la suite (u ) . n
g) Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule n pour que u soit une n
−6valeur approchée de α à près et qui affiche cette valeur approchée. 10
Exercice 10 (d’après Ecricome 2005 voie E)
La dernière partie de cet exercice fait appel aux fonctions de deux variables.
* 2On considère la fonction f définie par f (0) = −1 et : ∀x ∈ f (x) = x − x ln x −1. +
On donne : et . ln 2 ≈ 0,7 ln 3 ≈ 1,1
Partie A : Etude de la fonction
1) Etudier la limite de f en +∞ . Préciser la nature de la branche infinie.
+2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur .
*3) Etudier la convexité de f sur . +
4) En déduire le tableau de variations de f.
*5) Montrer que f réalise une bijection de sur un intervalle J que l’on précisera. +
−1 −16) Quel est le sens de variation de f ? Déterminer la limite de f (x) lorsque x
tend vers l’infini.
Partie B : Etude d’une première suite
1) Justifier que pour tout , il existe un unique réel x > 0 tel que f (x ) = k . k ∈ k k
−1Exprimer x à l’aide de f . k
2) Donner la valeur de x . 0
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eAnalyse 6
 3 
3) Démontrer que x appartient à l’intervalle I = ,2 . 1  2 
4) Montrer que : ∀k ∈ x ≤ x . k k +1
5) Déterminer la limite de x lorsque k tend vers l’infini. k
Partie C : Etude d’une deuxième suite
2*Soit la fonction définie par : . ϕ ∀x ∈ ϕ(x) = + ln x+
x
3
On définit la suite (u ) par : u = et ∀n ∈ u = ϕ(u ) . n 0 n+1 n
2
* ϕ I ⊂ I1) Etudier les variations de ϕ sur et montrer que ( ) . +
2
2) En étudiant les variations de ϕ ' , montrer que : ∀x ∈ I ϕ'(x) ≤ .
9
3) Montrer que les équations x = ϕ(x) et f (x) = 1 sont équivalentes. En déduire que
le réel x est l’unique solution de l’équation . x = ϕ(x)1
3
4) Montrer que : ∀n ∈ ≤ u ≤ 2 . n
2
2
5) Montrer que : ∀n ∈ u − x ≤ u − x . n+1 1 n 1
9
n
1 2 
6) Montrer que : ∀n ∈ u − x ≤ . n 1  
2 9 
7) En déduire la limite de la suite (u ) . n
−68) Ecrire un programme permettant de calculer une valeur approchée de x à 10 près.
1
Partie D : Etude d’une fonction de deux variables
2 y xSoit g la fonction définie par : ∀(x, y) ∈ g(x, y) = xe − ye .
1) Calculer les dérivées partielles premières de g.
2) En déduire que g admet un seul point critique.
3) Ce point est-il un extremum local de g ?
Exercice 11 (d’après EDHEC 97 voie E)
Pour tout n ∈*, on note f la fonction définie sur par : f (x) = x − nln x . ]0,+∞[n n
Partie A : Etude de la fonction
1) Déterminer les limites en 0 et en + ∞ de la fonction f . n
2) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. n
3) Montrer que, pour tout entier n ≥ 3 , l’équation f (x) = 0 a deux solutions que n
l’on notera u et v qui vérifient : 0 < u < n < v . n n n n
4) En déduire, pour tout entier n ≥ 3 , le signe de f (x) suivant les valeurs de x. n
Partie B : Etude de la suite u
On suppose que n ≥ 3 .
1) Montrer que : 1 < u < e . n
2) Montrer que f (u ) = ln(u ) et en déduire le sens de variations de la suite (u ) . n n+1 n+1 n
3) En déduire que la suite (u ) converge. n
1 e
4) Démontrer que < ln(u ) < . En déduire la limite de (u ) . n n
n n
1
5) Montrer que : u −1 ~ . n
n
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 7
Partie C : Etude de la suite v
On suppose toujours que n ≥ 3 .
1) Calculer lim v . n
n→+∞
2) Calculer f (n ln n) , puis montrer que n ln n < v . n n
3) En utilisant les variations de f , démontrer que : . ∀x ∈]0,+∞[ x > 2ln x2
4) En déduire que : n ln n < v < 2nln n . n
5) En déduire un encadrement de ln(v ) , puis montrer enfin que : v ~ nln n . n n
Exercice 12
x − n+ −xPour tout n ∈* , on définit la fonction f par : ∀x ∈ f (x) = − e . n n
x + n
1) Etudier la limite de la fonction f en +∞ . n
2) Etudier les variations de la fonction f . n
3) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution u . n n
4) En déduire le signe de f (x) suivant les valeurs de x. n
5) Comparer u et n, puis en déduire la limite de u . n n
6) Déterminer le signe de f (n +1) , et en déduire un équivalent de u . n n
7) On se propose d’étudier la suite de terme général a = u − n . n n
−una) Montrer que : ∀n ∈ * 0 < a < 2u e n n
b) En déduire la limite de la suite (a ) . n
ne
c) En explicitant la relation f (n + a ) = 0 , calculer la limite de a . n n n
n
d) En déduire un équivalent de u − n . n
Exercice 13 (HEC voie E ?)
Partie A
Soit f la fonction définie par : f (x) = x + ln x .
1) Etudier les limites de la fonction f en 0 et en + ∞ .
2) Etudier les variations de la fonction f.
3) En déduire que, pour tout n ∈ , l’équation (E ) : x + ln x = n admet une unique n
solution α . n
4) Donner la valeur de α . 1
5) Etudier le sens de variations de la suite (α ) . n
Partie B
1) Démontrer que : ∀x ∈]0,+∞[ ln x < x .
n
2) Démontrer que : ∀n ∈ * ≤ α ≤ n . n
2
3) En déduire la limite de α quand n tend vers l’infini. n
Partie C
ln α n1) Démontrer que : lim = 0 et en déduire que α ~ n . n
n→+∞ n
2) Calculer la limite de α − α quand n tend vers l’infini. n+1 n
n − α n3) On pose : ∀n ∈* u = . n ln n
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 8
α nln 
n 
a) Montrer que : ∀n ∈ * u −1 = . n
ln n
b) Calculer la limite de u quand n tend vers l’infini. n
1
c) Démontrer que : 1− u ~ . n
n
d) En déduire qu’il existe une fonction ε telle que limε(x) = 0 et :
x→0
ln n ln n 1 
∀n ∈ * α = n − ln n + + ε  n
n n n 
Exercice 14 (d’après Ecricome 2005 voie S)
On définit une suite réelle (u ) par u ≥ 0 et : ∀n ∈ * u = n + u . n 0 n n−1
1) Montrer que : ∀n ∈ u ≥ n . n
1+2) Démontrer que : . ∀x ∈ x ≤ (1+ x)
2
u03) En déduire que : ∀n ∈ u ≤ n + . n n2
u u   n−1 n n4) En déduire les limites des suites   et   . En déduire que : u ~ . n2n n   
5) On pose : ∀n ∈ w = u − n . Montrer que la suite (w ) a une limite l que n n n
l’on précisera.
6) Calculer lim ( n − n −1) , puis lim (u − u ) . En déduire qu’il existe un entier n n−1
n→+∞ n→+∞
1
n tel que : . ∀n ≥ n u ≥ u −0 0 n n−1
2
7) Montrer que u − u est de même signe que 1+ u − u , puis que la suite (u ) n+1 n n n−1 n
est croissante à partir d’un certain rang.
8) Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l’utilisateur un entier n et qui
affiche la valeur de u lorsque u = 1. n 0
Exercice 15 (Ecricome 2003 voie S)
Soit a est un réel strictement positif.
2On considère la suite (u ) définie par u = a et : . ∀n ∈ u = u + (u )n 0 n+1 n n
Partie A : Etude de la convergence de la suite
1) Montrer que la suite (u ) est strictement positive et monotone. n
2) Si la suite (u ) convergeait vers un réel , quelle serait la valeur de ℓ ? n
3) En déduire que la suite (u ) diverge vers l'infini. n
Partie B : Etude du comportement asymptotique de la suite
1
On définit la suite (v ) par : ∀n ∈ v = ln(u ) . n n nn
2
1  1 
 1) Prouver que : ∀n ∈ v − v = ln 1+ . n+1 n n+1  u2  n 
 1 1
0 ≤ v − v ≤ ln1+ 2) En déduire que quels que soient les entiers naturels p et n : . n+ p+1 n n  2 u n 
3) Démontrer que la suite (v ) est majorée, puis qu'elle converge vers une limite n
notée α (que l’on ne demande pas de calculer).
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 9
nα24) En déduire que : ∀n ∈ u ≤ e . n
5) En faisant tendre p vers l’infini pour n fixé dans l’encadrement du 2), montrer
nα2que : . ∀n ∈ e ≤ u +1n
nα26) En déduire, lorsque n tend vers l'infini, l'équivalent suivant : u ~ e . n
nα27) On pose : ∀n ∈ w = e − u . Montrer que la suite (w ) est bornée et n n n
n2 −α2
qu’elle vérifie la relation suivante : ∀n ∈ 2w −1 = [w + (w ) − w ]e . n n+1 n n
n1 α28) Prouver enfin que, lorsque n tend vers l'infini : . u = − + e + o(1)n
2
Partie C : Calcul approché
Dans cette partie, on suppose que : a = 1.
1
1) Démontrer que : ∀n ∈ 0 ≤ α − v ≤ . n n2
−22) En déduire un programme en Turbo-Pascal qui calcule une valeur approchée à 10
près par défaut de α .
Exercice 16 (EDHEC 95 voie S)
On considère la suite (u ) définie par u ∈]0,1[ et ∀n ∈ u = u (1− u ) . n 0 n+1 n n
1) Etudier les variations de la fonction f définie par : f (x) = x(1− x) .
1
2) Démontrer que : ∀n ∈ 0 < u < . En déduire la convergence de (u ) . n nn +1
3) On pose : ∀n ∈ v = nu . n n
a) Etudier le sens de variations de la suite (v ) . n
b) En déduire que la suite (v ) converge vers un réel l ∈]0,1] . n
4) On pose : ∀n ∈ w = n(v − v ) . n n+1 n
a) Montrer que : ∀n ∈ w = v (1− u − v ) . n n n n
b) En déduire que la suite (w ) converge et calculer sa limite en fonction de l . n
5) On suppose dans cette question que l ≠ 1.
l(1−l)
a) Montrer qu’il existe un entier n tel que : ∀n ≥ n v − v ≥ . 0 0 n+1 n
2n
l(1−l)
b) En déduire que : . ∀n ≥ n v − v ≥0 2n n
4
c) Montrer que ce résultat est en contradiction avec le 3) b).
1
6) En déduire que : u ~ . n
n
Exercice 17 (d’après Ecricome 2008 voie E)
Pour tout p ∈ *, on définit la fonction f par : f (x) = 1+ ln(x + p) . p p
Partie A
1) Montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution α sur ]0,+∞[ . p p
2) Montrer que : α ∈[1,3]. 1
3) Montrer que la suite (α ) est monotone. p
4) Montrer que : ∀p ∈ * α ≥ 1+ ln p . En déduire la limite de α à l’infini. p p
Partie B
On définit la suite (u ) par : u = 1 et ∀n ∈ u = f (u ) . n 0 n+1 1 n
1) Montrer que : ∀n ∈ u ≥ 1. n
Exercices de Math matiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012
eAnalyse 10
2) Si la suite (u ) converge, quelle est sa limite ? n
1
3) Montrer que : ∀n ∈ u − α ≤ u − α . n+1 1 n 1
2
n−1
1 
4) En déduire que : ∀n ∈ u − α ≤ .  n 1
2 
5) En déduire la convergence de la suite (u ) . n
6) Ecrire un programme en Turbo-Pascal pour afficher une valeur approchée de α à 1
−4
10 près.
Exercice 18 (ESCP 1999 voie E)
Pour tout entier k ≥ 2 , on définit sur la fonction f par : ]0,+∞[ k
k
(ln x)
f (x) = si x ≠ 1 et f (1) = 0 . k k
x −1
Partie A
1) Montrer que f est dérivable sur ]0,1[∪]1,+∞[ et calculer sa dérivée. k
2) Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f ' (1) suivant les valeurs de k. k k
3) On considère la fonction ϕ définie sur ]0,+∞[ par : ϕ (x) = k(x −1) − x ln x . k k
a) Etudier les variations de ϕ sur ]0,+∞[ . k
b) Montrer que l’équation ϕ (x) = 0 admet une unique solution a sur ]1,+∞[ . k k
4) Déterminer les limites de f en 0 et en + ∞ . k
5) Tracer le tableau de variations de f en distinguant les cas k = 2 , k entier pair k
supérieur ou égal à 4, et k entier impair supérieur ou égal à 3.
Partie B
k−1 k
1) Montrer que pour tout entier k ≥ 2 , on a : e ≤ a ≤ e . k
k2) Pour tout entier k ≥ 2 , on pose : a = e (1+ δ ) . k k
−ka) Montrer que le réel δ vérifie : − ke = (1+ δ )ln(1+ δ ) . k k k
1−kb) Justifier l’inégalité : ln(1+ δ ) ≤ ke , et en déduire lim δ . k k
k→+∞
−kc) Montrer que δ est équivalent à − ke en + ∞ . k
k
3) En déduire que : a = e − k + o(k) quand k tend vers + ∞ . k
Exercice 19
Soit (a ) une suite de réels strictement positifs. Pour tout entier naturel n, on pose : n
1 1 1
u = a u = a + u = a + … u = a + 0 0 1 0 2 0 n 01 1a1 a + a +1 1 1a2 a +2 1
... +
1
a +n−1
an
On se propose de chercher à quelle condition sur (a ) , la suite (u ) converge. n n
Partie A : Etude d’un exemple
Dans cette partie, on suppose que : ∀n ∈ a = 1. n
1) La suite (u ) est-elle monotone ? n
1
2) Montrer que : ∀n ∈ u = 1+ . n+1
un
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e