Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Intégration : énoncés

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2012

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Catherine Laidebeure

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01 janvier 2012

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Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Analyse

INTEGRATION Exercice 1 π4 On pose :∀n∈In=tannx dx. 0 1) CalculerI0etI1. 2) Etudier le sens de variations de la suite (In) . 3) (En déduire que la suiteIn convergente.) est 4) CalculerIn+2+Inpour toutn∈. En déduire la limite de la suite (In) . 5) Démontrer que :∀n∈In+2≤2n21≤In. En déduire que :In1~2n. + 6) On pose :∀n∈un=(−1)nI2n. a) Calculerun+1−unpour toutn∈. − b) ( 1)En déduire la convergence de la série de terme généralnet calculer sa somme. 2n+1 7) On pose :∀n∈vn=2(−1)nI2n+1. a) Calculervn+1−vnpour toutn∈. − b) 1)convergence de la série de terme général (En déduire la n calculer sa et n+1 somme.

Exercice 2 (ESSEC 2001 voie S et EM Lyon 2010 voie S) π2π2 Pour toutk∈, on définit les intégrales :Ik=cos2k(t)dtetJk=t2cos2k(t)dt. 0 0 1) que :a) Montrer∀t∈0,π2t≤ πn(2sit) . 2 b) Montrer que :∀k∈0≤Jk≤π4(Ik−Ik+1) . π2 c) En remarquant queIk+1=cos(t) cos2k+1(t)dt, montrer que (2k+2)Ik+1=(2k+1)Ik. 0 d) Déduire des questions précédentes que :klimJIkk=0 . →+∞ 2) a) ExprimerIk en fonction deJk etJk−1 en intégrant deux fois par parties l’intégraleIkpour tout entierk≥1. J Jk b) En déduire que, pour tout entierk≥1 :k−−1− =212. Ik1Ikk c) CalculerJ0etI0. 3) déduire la convergence de la sériea) Enn12et montrer que :n+=∞1n12=π62. b) déduire la convergence de la sérieEn (12+1)2k+=∞k12π2. et montrer que :0(2+1)=8 n

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