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Exercices de calcul différentiel – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Calcul différentiel

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Description

Ces courts exercices sur le calcul différentiel et les équations différentielles, sans correction mais mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 4 séries : (1) Equations différentielles (2) Calcul différentiel (3) Géométrie différentielle (4) Calcul intégral

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Publié le 01 janvier 2012
Nombre de lectures 95
Langue Français

Exrait

Calcul différentiel et EDO (2) : Calcul différentiel

1. Soitf∈ C0(RR)etg(x y) =Z0y(x−t)f(t)dt. Prouver quegest de classeC1surR2et
déterminer sa différentielle.
2. Montrer que l’application définie parf(X) =X2surMnn(R)est de classeC∞et déterminer
sa différentielle.
3. Déterminer les7→xy
extrema def: (x y+1()x)(1 +y)(x+y)sur(R∗+)2.
4. Soit(a b)∈R2etfab: (x y)∈R27→(x+asiny y+bsinx)∈R2.
Montrer quefabsurjective. Trouver une condition nécessaire et suffisante surest (a b)pour
quefabsoit unC1−difféomorphisme deR2surR2.

5. Soitfune fonction deR2dansRtelle que :∀t∈R++(x y)∈Dfk⇒(tx ty)∈Df

∀t∈Rf(tx ty) =t f(x y)
fest dite k-positivement homogène.
(a) Démontrer que, sifest k-positivement homogène et de classeC1, alors :

∀(x y)∈Df2xD1f(x y) +yD2f(x y) =kf(x y)

Etudier la réciproque.
(b) Démontrer que, sifest de classeC1, alors :D1fetD2fsont(k−1)−positivement homogènes.
Etudier la réciproque.

6.fest une fonction continue deRdansR. On définit une fonctionGndeR2dansRpar :
n
Gn(x y) =Z0yf(u) (x−!u)du
n

Démontrer queGnest de classeC1et calculer sa différentielle.
7. On approche la solution de(Dy=f(t y) y(t0) =y0)pourh∈R∗fixé par la suite

∀n≥0tn+1=tn+ yh n+1=yn+hf(tn+h2 yn2+fh(tn yn))

On suppose quef∈ C2(R2). Déterminer unDL3quandh→0dey(t1)−y1.
On suppose queh= 1etp∈N∗. Déterminer un majorant dt
pey(p)−yp.
8. Soitg∈ C2(R2R)une fonction harmonique etf∈ C2(RR)telle que∀t∈R D2f(t)6= 0.
A quelle conditionf◦gest-elle harmonique ?
y=g(y x)−g(x y)s
9. Soitgune fonction de classeC1deR2dansRetψ(x)y−xix6=y.
Démontrer queψest prolongeable en une fonction continue surR2.
En déduire la valeur deζ(a) =(xyl)i→m(axy−yx
exy−ey.
a)x
10. Soitf(x y) =xsinx2y+−yy2sinxsi(x y)6= [00).fadmet-elle un prolongement continu surR2? Ce prolongement
est-il de classeC1?
x2y22x.
11. Soitfla fonction de(]0+∞[)2dansR2définie par :f(x y) = 2y 
Etudier l’existence d’une fonction réciproquef−1et calculer ses dérivées partielles d’ordre 1 et 2 après avoir
démontré leur existence.
12. Déterminer un ouvertUdeR2tel queϕ: (x y)7→(x−y xy)soit unC1−difféomorphisme deUsurϕ(U).
2de diagonaleΔetf(x y) =xy1((1−−xy))isisxx≥y. Mo
13. Soit le carré deR2donné par[01]≤yntrer quefadmet un
maximum sur le carré en un seul point à préciser.Mines
14. Déterminer les triangles d’aire maximale inscrits dans un cercle donné.

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

e1-2

e1-45
e2-036

E1-51

e2-060b

E1-9

e1-41

E1-18

E1-48

E1-14

E1-20
E1-50

e2-007
e2-032

Calcul différentiel et EDO (2) :

15.

16.

Calcul différentiel

Quel est le pavé de volume maximal dont la somme des longueurs des artes estL? dont la somme des aires des
faces estA?
MetM0décrivent respectivement deux cercles tangents extérieurement enOQuelle est l’aire maximale du triangle.
(O M M0)?Centrale

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

e2-057

E2-67