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Exercices de mécanique des fluides – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*, Viscosité des fluides

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Ces exercices de mécanique des fluides, proposés avec des réponses partielles ou des aides, sont présentés en 4 séries : (1) Bilans macroscopiques (2) Cinématique des fluides (3) Dynamique des fluides (4) Viscosité des fluides

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Publié le 01 janvier 2012
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Langue Français

PC*Lyc´eeHoche

Viscosite´des

fluides

Me´caniquedesfluides

Pascale Piquemal 08/12

Table1–sotiiVcsnymae´dscietueiqiqatemn´eu

ηen Plµenkgm−3
10−3103
18 10−513
'01 9 102
'10 14 103
4 10−3103

eau
air
huile d’olive
miel
sang

νenm2s−1
10−6
15 10−5
10−4
7 10−3
4 10−6

Laviscosit´ecine´matiqued’ungazestdumˆemeordredegrandeurque
d’autodiffusionDetquesadiffusivit´ethermiqueDth.

son

coefficient

Sujet1:Chuted’unebilledanslaglyce´rine
Bille de rayonr= 1cmlyagerc´,prlounieη= 149P letµ= 126 103kgm−3. Evaluer la vitesse
limitedelabille,calculerlenombredeReynoldsetv´erifierlavalidit´educalcul.

Sujet 2 : Frottement fluide sur une plaque en mouvement rectiligne uniforme
Un fluide incompressible ( masse volumiqueµeimuqydantie´iv,socsη,ηµ=ν= 10−6m2s−1)ese´timilt
pardeuxplaquessuppos´eesinfinies,confonduesaveclesplansd’e´quationz= 0etz=L. Le fluide
etlesdeuxplaquese´tantaureposa`t <0, on met en mouvement la plaquez= 0avec une vitesse
constanteU u−→x`rapadritet= 0. On noteP(z t)le champ de pression etv−(−M−− t→) =v(z t)u−→xle champ
des vitesses dans le fluide.
1/Enisolantunpave´decoˆte´sdx,dyetdz,e´tablirlesrelations:v∂∂t=νz∂∂22vetdPdz=−µg.
2/Pr´evoirsanscalcull’ordredegrandeurdeladure´eτoulen´ectd’uemeniaeroinntstaemtn.batessil´’d
A.N :L= 1cmetL= 1m.
3/Onsepl´egimestationnaire.D´eterminerv(z)etlaforcesubieparun´el´ementdesurfacede
ace en r
la plaque mobile. Commenter.

Sujet 3 : Freinage d’une plaque en mouvement sinuso¨ıdal. Ondes de cisaillement dans un
fluide
Uneplaqueconfondueaveclepland’´equationz=0estentranslationavecunevitesseU cos(ωt)u−→x
dans un fluide incompressible ( masse volumiqueµscosit´edynamique,ivη,µη=ν= 10−6m2s−1)
ression et−(−M−− t→) =v(z t)u−→xl
remplissant tout l’espace. On noteP(z t)le champ de pve champ des
vitesses dans le fluide.
1/Enisolantunpav´edecoˆt´esdx,dyetdz,´etablirlesrelations:t∂v∂=ν∂∂2vz2etddPz=−µguired´ed.nE
sanscalculsl’ordredegrandeurdel’´epaisseurδde la couche limite, domaine hors duquel le fluide reste
quasiment au repos. A.N :f= 100H z.
2/Onchercheenre´gimesinuso¨ıdalforc´eunchampdevitessesdelaformev(z t) =<(UMexpj(ωt−kz))
.D´eterminerketende´duirelesexpressionsdev(z >0 t)etv(z <0 t).
3/End´eduirel’expressiondelaforcesubieparl’unite´desurfacedelaplaqueetlapuissancedecette
force ; commenter.

Sujet4:Ecoulementd’unliquidesurunplaninclin´e
Consid´eronsunecouche,d’´epaisseurh,d’unliquideincompressiblevisqueux,deviscosit´eηet de masse
volumiqueµ,enefa´eanisinaninclrustlpnuluocnemeeanglleunnoatrozilch’atevαet on note la ligne
´
de plus grande penteOxeeg´rsvebaleEns.oce´melustneitatonnaire,celui-ciseutinidertcoinnetelridi
1

PC*Lyce´eHoche

Me´caniquedesfluides

Pascale Piquemal 08/12

laseulecomposantenonnulledelavitessevnede´pendquedez,soitvx(z). La surface libre correspond
a`z= 0etnausellpattnpprouchelaco`az=h.
1/ Justifier queP∂x∂= 0.
2/D´eterminerlesconditionslimitesentermesdevitesseenne´gligeant
laviscosite´del’air.
3/End´eduireleprofildevitessed’untel´ecoulement.Identifierletype
d’´ecoulementobserve´enfonctiondeα.
4/ La couche de liquide est de largeur L dans la direction Oy. Cette lar-Figure1 – Ecoulement
geuresttr`esgrandedevantlaprofondeurh.Calculerled´ebitvolumiqued’unliquidesurunplanin-
etende´duirelavitessemoyennedel’´ecoulement.Pourquoicede´bitest-ilcli´
ne
constant ?
5/A.N:calculerlavitessemoyennedel’´ecoulementpourunerivi`eredeh= 1mestnnautenpr´e
diff´erenced’altitudede50mae`rppnusocrasdure500kme.C´eertaseustl´rae-tlie?pulisturunispo
couche d’eau deh= 2mmin´edeunursclinanpl1◦e.parrappoiroztnlatra`’loh

R´eponsespartielles:Conditionslimites,penser`al’annulationdelacontraintetangentielleenz= 0.
v(z) =µgsinα(2hη2−z2)´lementparpeuolrravi`irece’e.Cirstear´stlimiliheuc.tefuastiafocalsnad
ar ecou
Enrevanchepourlacouched’eau,toutl’´ecoulementestvisqueux.

Sujet5:EcoulementdeNavier-Stokesentredeuxcylindresdere´volutioncoaxiaux
Onconside`redeuxcylindresdere´volutioncoaxiaux,d’axeOz,derayonsR1etR2avecR1< R2.
One´tudieune´coulementstationnaire,longitudinal,d’unfluidevisqueuxdeviscosite´dynamiqueη,
incompressible, de masse volumiqueµarchdeteerap.LrueugnolenurusegiteestnoLdecondu´tee
Δp=p(z= 0)−p(z=L).
1/D´emontrerquevnede´pendquederencoordonne´escylindriquesd’axeOz.
2/D´emontrerquepestfonctionline´airedelaseulevariablez.
3/Ende´duirelechampdesvitessesv(r)enfonctiondelapertedechargeparunit´edelongueurΔpL.
4/Calculerlede´bitmassiquelelongdelaconduite.
5/Commentpeut-onreformulerleproble`mesil’onn´egligelaviscosit´e?Re´ponsepartielle:v(z) =
−4ΔPrLη2+clnr+c0.

Sujet 6 : Ecoulement de Poiseuille cylindrique
Untel´ecoulement,ditdePoiseuille,corresponda`celuid’unliquidevisqueux(deviscosite´ηet de
masse volumiqueµ) dans une conduite cylindrique de rayonROexa’dtetsffeladeegileselnO.zge´n
pesanteur.
1/Dufaitdessym´etriesduprobl`eme,onchercheencoordonn´eescylindriquesunchampdelaforme
−v→=v(r z)u−→zet un champ de pression de la formeP(M) =p(r z)oclumeneettststa.L’´ereainnioet
incompressible.Exploiterl’incompressiblilit´edel’e´coulement.Appliquerleth´eor`emedelare´sultante
cine´tiquea`uneparticuledefluide.
2/End´eduirelechampdesvitessesentenantcomptedesconditionsauxlimitessurlaparoidela
conduite.End´eduirel’expressiondude´bitvolumiqueenfonctiondespressions`al’entr´eeet`alasortie
pouruneconduitedelongueurL.Comparer`alaloid’Ohmpourunconducteurfiliforme.
3/A.N:Calculerlachutedepressiondansunearte`redelongueurL= 1m, de rayonR= 05cmet
dede´bitvolumique80cm3s−1gvantausioclevadesuis´t,sntquachaη= 4 10−3P l. Comparer avec la
diff´erencedepressionquemaintientlecoeur?p= (12−8)cm= 4cmde mercure.
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Re´ponses:v(z) =ΔP(RLη−r2)etDv=8ΔLηπPR4.
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