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Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Variables aléatoires discrètes : indications et réponses

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Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Publié le 01 janvier 2013
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Langue Français

Réponses de Probabilités - 1 -

Réponses et Indications (Variables aléatoires discrètes)

Exercice 1 (d’après ESSEC 1999 voie T)
Partie A : Etude du temps d’attente pour obtenir un double six
1
1) p = par indépendance.
36
 1 
2) XcG (temps d’attente du premier succès).  
36 
3) E(X ) = 36 et V (X ) = 1260 .
4) Initialiser X à 0, puis dans une boucle, répéter X := X +1 et deux tirages aléatoires
entre 1 et 6 jusqu’à ce qu’ils soient tous les deux égaux à 6. Afficher la valeur de X.
Partie B : Etude du temps d’attente pour qu’au moins un dé ait amené un six
25
1) q = par indépendance.
36
11 
2) YcG car la probabilité de succès est 1− p .   2
36 
36 900
3) E(Y ) = et V (Y ) = .
11 121
4) Initialiser Y à 0, puis dans une boucle, répéter Y := Y +1 et deux tirages aléatoires
entre 1 et 6 jusqu’à ce que l’un des deux soit égal à 6. Afficher la valeur de Y.
Partie C : Etude du temps d’attente pour que chacun des dés ait amené un six
n
5 
1) p = par indépendance.  n
6 
n n
5 25   
2) P(Z ≤ n) = 1− 2 + .    
6 36   
n n
2 5 11 25   
3) P(Z = n) = − . Exprimer P(Z ≤ n) en fonction de P(Z ≤ n −1) .    
5 6 25 36   
4) Utiliser les sommes des séries géométriques.
96
5) E(Z) = . Utiliser les sommes des dérivées de séries géométriques.
11
12720 4560
6) et . E[Z(Z −1)] = V (Z) =
121 121
Utiliser les sommes des dérivées de séries géométriques.
7) Initialiser Z à 0, puis dans une boucle, répéter et deux tirages aléatoires Z := Z +1
entre 1 et 6 jusqu’à ce que l’un des deux soit égal à 6. S’ils ne sont pas tous les
deux égaux à 6, dans une boucle, répéter et un tirage aléatoire entre 1 et Z := Z +1
6 jusqu’à ce qu’il soit égal à 6. Afficher la valeur de Z.
Exercice 2 (d’après EM Lyon 2000 voie E)
A – Premier protocole
2n − k
1) P(E ) = . Utiliser la formule des probabilités composées. k
n(2n −1)
2n − k
2) X (Ω) =Pa − 2n +1, a −1T et P(X = a − k) = car X = a − k si E est réalisé. k
n(2n −1)
2n +1
E(X ) = a − .
3
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 2 -

B – Deuxième protocole
1) Y(Ω) =Pa − n,a −1T∩{− n}.
2n − k n −1
2) et 3) P(X = a − k) = si k ∈P1, nT et P(Y = −n) = .
n(2n −1) 2(2n −1)
23a(3n −1) − 7n +1
5) E(Y ) = .
6(2n −1)
C – Comparaison des deux protocoles
n +1
Le protocole le plus favorable est le premier si a > .
3
n +1
Le protocole le plus favorable est le second si . a <
3
Exercice 3 (d’après Ecricome 2004 voie E)
1) a) . Utiliser les probabilités totales. P(E) = 0,085
b) P (A) ≈ 0,82. Utiliser la formule de Bayes. E
c) NcB (100;0,085) donc E(N ) = 8,5 et V (N ) = 7,7775 .
k(8,5) −8,5d) λ = 8,5 et P(N = k) ≈ e .
k!
e) P(E ) ≈ 0,28338 et P(E ) ≈ 0,89214 . 1 2
10 30
2) a) TcG (0,7) donc E(T ) = et V (X ) = . 1 1
7 49
b) Utiliser les probabilités totales avec le système complet d’événements (T = j) . 1 j≥1
c) Utiliser la somme d’une dérivée de série géométrique.
20
d) E(T ) = . Utiliser la somme d’une dérivée de série géométrique. 2
7
k k3) a) P(L = k) = 0,3(0,7) + 0,7(0,3) 1
En effet (L = k) = (A ∩...A ∩ B ) ∪ (B ∩...B ∩ A ) . 1 1 k k +1 1 k k+1
b) Utiliser les somme de séries géométriques.
58
c) E(L ) = . Utiliser les sommes de dérivées de séries géométriques. 1
21
k+1 j k+1 j
d) P[(L = k) ∩ (L = j)] = (0,7) (0,3) + (0,3) (0,7) . 1 2
En effet, l’événement (L = k) ∩ (L = j) est réalisé si l’on a soit d’abord k 1 2
fois A, puis j fois B, puis A, soit d’abord k fois B, puis j fois A, puis B.
2 j−1 2 j−1e) P(L = j) = (0,7) (0,3) + (0,3) (0,7) . 2
Utiliser l’expression d’une loi marginale en fonction de la loi conjointe.
f) E(L ) = 2 . Utiliser les sommes de dérivées de séries géométriques. 2
Exercice 4 (d’après ISC 1996 voie S)
Méthode 1
10 N N(N +10) 
1) XcG donc E(X ) = 1+ et V (X ) = .  
N +10 10 100 
N N(N +10)
2) a) E = 1+ et V = (par indépendance). n n
10 100n
Vnb) P( Z − E ≥ ε) ≤ . Donc lim P( Z − E ≥ ε) = 0 . n n n n2 n→+∞ε
3) N = 50 .

Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 3 -

Méthode 2
10 N −10  
    k 10 − k10    
1) Y cH N,10, donc Y (Ω) =P0,10T et P(Y = k) = .  N N
N N     10 
2[(N −10)!]
2) a ≠ 0 ⇔ N ≥ 18 et a = 4050× N N (N −18)!N!
3) Suite croissante jusqu’à 50 puis décroissante.
4) Le maximum est obtenu pour N = 50 .
Exercice 5 (d’après EM Lyon 1995 voie E)
1 2
1) P(A) = et P(B) = , donc P(B) > P(A) .
3 3
Utiliser les probabilités totales en introduisant G « il tire le numéro gagnant"
p n − p  
    k p − kp    2) a) XcH n, p, donc X (Ω) =P0, pT et P(X = k) = .  
nn   
  p 

p
Puis utiliser P(X = k) = 1 pour montrer l’égalité. ∑
k=0
2
p
b) E(X ) = en utilisant l’égalité du a). Puis utiliser la définition de . E(X )
n
 p − kn − 3p + k
    j p − j  
c) P (Z = j) = si j ∈P0, p − kT et P (Z = j) = 0 sinon. ( X =k ) ( X =k )
n − 2 p 
  p 
Même raisonnement qu’au 2) a) avec (n − 2 p) numéros, dont ( p − k) gagnants
p−k
et (n − 3p + k) perdants. L’égalité est conséquence de P (Z = j) = 1. ∑ ( X =k )
j=0
d) Utiliser l’expression de la loi marginale de Z à partir de la loi conditionnelle.
e) E(Z) > E(X ) , donc, en moyenne, la stratégie B est meilleure.
Exercice 6 (d’après HEC 2003 voie E)
Partie A
2 2 21) A − 2aA = (b − a )I .
− a b1  −12) A =   .
2 2  b − a b − a 
3) Si a = b , la matrice A n’est pas inversible.
4) Montrer que les matrices A − (a + b)I et A − (a − b)I ne sont pas inversibles.
Partie B
1) Utiliser les probabilités totales avec le système complet d’événements (X = k) k≥1
2
et l’indépendance de X et Y. P(E) = car E est l’événement contraire.
2 − p
2) S = X + Y et D = X − Y . Donc cov(S, D) = 0 .
3) S et D ne sont pas indépendantes car P[(S = 2) ∩ (D = 0)] ≠ P(S = 2)P(D = 0) .
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 4 -

4) Utiliser les probabilités totales avec le système complet d’événements (X = k) k≥1
et l’indépendance de X et Y.
5) Etudier le sens de variations de la suite de terme général u = P(S = n) et en n
déduire la valeur de n où elle atteint son maximum.
Exercice 7 (d’après CCIP 2004)
1) Evident car . X (Ω) ⊂ *
2) Décomposer l’événement (X ≥ k) en deux événements incompatibles.
3) Faire apparaître une somme télescopique.
4) Minorer k dans la somme.
5) lim nP(X ≥ n +1) = 0 car le majorant est le reste d’une série convergente.
n→+∞
6) Utiliser le 3) .
7) La série à termes positifs ( kP(X = k)) est majorée par une série convergente. ∑
Exercice 8 (d’après EDHEC 2004 voie S)
1) a) Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour ε = λ .
b) Remarquer que (X ≥ 2λ) ⊂ ( X − λ ≥ λ) .
2) a) Expliciter P(X = k) pour justifier la convergence.
λ(t−1)
b) G (t) = e . X
c) Minorer G (t) par la somme correspondant à k ≥ a . X
e
d) Le minimum est g(2) = .
4
λ
e) Montrer que P(X ≥ 2λ) est un minorant de {[g(t)] / t ≥ 1}.
x
e 
f) Cette inégalité est toujours meilleure. Utiliser les variations de xa x .  
4 
Exercice 9 (d’après EDHEC 2006 voie S)
Partie A : Etude de la variable X n
1
1) X (Ω) = {0,1} et P(X = 0) = P(X = 1) = . 1 1 1
2
5 1 1
2) X (Ω) = {0,1,2} et P(X = 0) = , P(X = 1) = , P(X = 2) = . 2 2 2 2
12 4 3
Utiliser les probabilités totales avec le système d’événements (X = k) . 1 0≤k≤1
3) Dans l’hérédité, utiliser : X = X +1 ou X = 0 . n+1 n n+1
4) a) Remarquer que, si k ≥ 1, (X = k) ⊂ (X = k −1) , et en déduire la probabilité n n−1
de (X = k −1) ∩ (X = k) . n−1 n
b) Récurrence sur k.
c) Changement de variable : j = n − k .
1 5 3
d) u = 1, , et . u = u = u =0 1 2 3
2 12 8
5) a) Sommer l’égalité de 1 à n et faire un changement de variable pour avoir E(X ) . n−1
n
b) E(X ) = u . Sommer de 1 à n l’égalité précédente. n ∑ k
k =1
n−1 u j
c) = 1. Puis utiliser le 4) c) pour exprimer u en fonction de u , ..., u . ∑ n 0 n−1
n − jj=0
d) Récurrence forte. Série minorée par une série divergente, donc lim E(X ) = +∞ . n
n→+∞
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 5 -

Partie B : Etude du premier retour à l’origine
1) a) (T = k) = (X = 1) ∩ ... ∩ (X = k −1) ∩ (X = 0) si k ≥ 2 et (T = 1) = (X = 0) . 1 k −1 k 1
b) Utiliser la formule des probabilités composées.
+∞
c) P(T = 0) = 1− P(T = k) . Il est quasi-certain que le mobile reviendra en O. ∑
k =1
2) T n’a pas d’espérance. Série divergente.
Partie C : Informatique
1) For i := 1 to k do s := s + u[i −1] / (k − i + 2) ;
E := E + u[k] ;
2) hasard := random(T + 1) ;
Until hasard = 0 ;
Exercice 10 (d’après ESSEC 2005 voie E)
Partie A : Etude d’une suite de variables aléatoires
1)
k N(k − 1) / N (N − 1) / N

0 1 … k – 1 k k + 1 … N – 1 N 1 1


(N − k − 1) / N(N − 1) / N (N − k) N
N −1
2) P(X = 0) = P(X = 0) + P(X = 1) . n+1 n n
N
k −1 N − k −1
P(X = k) = P(X = k −1) + P(X = k +1) si 1 ≤ k ≤ N −1. n+1 n n
N N
N −1
P(X = N) = P(X = N −1) + P(X = N) n+1 n n
N
N − 1 
1 0 L L L L 0 
N 
N − 2 0 0 0 M
 N
 1
0 0 O O M 
N 
 M 0 O O O O M
 3) M = . Récurrence.  
M O O O O O M 
 
1 M O O 0 0
 N 
N − 2 
M 0 0 0 
N
 
N −1 0 L L L L 0 1
N 
Partie B : Etude d’un cas particulier
3 2 0 0 
 
0 0 1 01 1 1   
1) M = et Sp(M ) = − , ,1 .   3 0 1 0 0 3 3   0 0 2 3 
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 6 -

1 1 1 0       
       
− 2 −1 0 0       
2) E et E sont les droites de base et , E le plan de base et . −1 3 1 3 1       2 −1 0 0
              −1 1 0 1       
1 0 0 0 
 
0 1 3 0 0 
Donc D = .  0 0 −1 3 0
  0 0 0 1 
n n3) Récurrence. Calculer D et en déduire M puis U . n
n n n n
3 1 1 1 1 1 1 1 1       
P(X = 0) = − − − P(X = 1) = + −        n n
4 2 3 4 3 2 3 2 3       
n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1       
P(X = 2) = − − P(X = 3) = − + −        n n
2 3 2 3 4 2 3 4 3       

3 1
4) lim P(X = 0) = lim P(X = 1) = lim P(X = 2) = 0 lim P(X = 3) = n n n n
n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞4 4
Partie C : Etude de l’arrêt du mobile
1) p = 0 , p = 1, q = 1 et q = 0 . 0 N 0 N
2) a) Utiliser les probabilités totales pour la probabilité conditionnelle avec le système P( X =k )0
complet d’événements (X = j) 1 0≤ j≤N
N − k
b) p − p = ( p − p ) . k +1 k k k −1
k
c) Récurrence sur k.
1
d) p = 1 N −12
3) Symétrie entre les deux extrémités. Montrer que : ∀k ∈P0, NT p + q = 1. k k
Exercice 11 (d’après ESSEC 2002 voie E)
1) a) Primitive du polynôme P qui s’annule en 1, donc factorisable par (x −1) .
b) Φ est un automorphisme de [X ]. p
Utiliser la linéarité de l’intégrale et Q = Φ(P) ⇔ P = Q + (X −1)Q' .
1 1 1 L L 
2 p +1 
 1 
0 O M 2
 k1  M 0 O O Mc) Φ(e ) = e . Donc M = ∑k j Φ  k +1 j=0
 1
M O O 
p +1 
1 0 L L 0 p +1 
 1 1  1 
d) Φ est diagonalisable et Sp(Φ) = 1, ,..., = / 0 ≤ k ≤ p .    
2 p +1 k +1  
2) a) Les fonctions propres associés à λ = 1 sont les polynômes constants non nuls.
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 7 -

1
b) Ecrire Φ(P) = λP . Si λ = , l’ordre de multiplicité est k.
k +1
kc) . ∀k ∈P0, pT ∀x ∈ P (x) = (x −1)k
p 1 (k )
d) P = a P avec ∀k ∈P0, pT a = P (1) . Utiliser la formule de Taylor. ∑ k k k
k!k =0
p ake) Φ = P . Et ∀x ∈ lim Φ (x) = P(1) . ∑n k nn n→+∞(k +1)k=0
p 1
3) a) ∀k ∈P0, pT P(X = k) = P(X = j) . Utiliser les probabilités totales. ∑n+1 n
j +1j=k
b) M = M . Φ
1 1
c) (0 1 L p)M = (0 1 L p) . Donc E(X ) = E(X ) . n+1 n
2 2
p
Donc et . E(X ) = lim E(X ) = 0nn n n→+∞2
0
 
M n nd) U = M par récurrence. Utiliser 2) e) car c’est la matrice de Φ (e ) . n p 0
  1 
Il est quasi-certain que le mobile arrivera en 0 et y restera.
Exercice 12 (d’après Ecricome 2005 voie E)
1) a) Le discriminant est strictement positif.
b) r + r = q et r r = − pq . 1 2 1 2
2 2c) f (1) = p f (−1) = 1+ q f (0) = − pq .
d) Utiliser le signe du trinôme pour montrer −1 < r < 0 < r < 1. 1 2
2 2 22) a) a = p a = p q a = p q . 1 2 3
èmeb) P (A ) = a et P (A ) = qa . Etudier la série de tirages à partir du 2 . F n+2 n+1 n+2 nF
c) Utiliser la formule des probabilités totales.
d) Récurrence linéaire d’ordre 2.
q pq 
3) a) M =   .  1 0 
r 0 r r   1 1 2−1b) M = PDP avec D =   et P =   .    0 r 1 1 2  
n+1 n+1 n n r − r r r (r − r )1n n −1 2 1 1 2 1 2 n c) M = PD P = et . X = M Xn 0n n n−1 n−1 r − r r − r r r (r − r )2 1  2 1 1 2 1 2 
2
p n−1 n−14) a) et ∀n ≥ 2 P(T = n) = a = (r − r ) . T (Ω) =P2,+∞P n−1 2 1
r − r2 1
b) Sommes de séries géométriques convergentes.
1+ p
c) E(T ) = . Sommes de dérivées de séries géométriques convergentes.
2
p
2 31+ 6 p −10 p + 3p
d) V (T ) = . Commencer par calculer E[T (T −1)] en utilisant
4
p
des sommes de dérivées de séries géométriques convergentes.
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 8 -

Exercice 13 (d’après EDHEC 1998 voie S)
1
1) a) P(X = 2) = .
4
1 èmeb) P (X = k) = . Etudier la série de lancers à partir du 2 . P k −11 2
èmec) P (X = k) = P(X = k −1) . Etudier la série de lancers à partir du 2 . F1
d) Utiliser la formule des probabilités totales.
k −1
e) u = k −1 et P(X = k) = . La suite (u ) est arithmétique. k kk2
+∞
f) P(X = 0) = 0 . Utiliser P(X = 0) + P(X = k) = 1. ∑
k =2
g) E(X ) = 4 . Somme de dérivée de série géométrique convergente.
1 1
2) a) P(Y = 2) = et P(Y = 3) = .
4 8
b) Leur réunion est Ω et ils sont deux à deux incompatibles.
c) Utiliser la formule des probabilités totales.
k −1 k −1    1 1+ 5 1− 5
    d) P(Y = k) = − . Récurrence linéaire d’ordre 2.    4 42 5      
+∞
e) P(Y = 0) = 0 . Utiliser P(Y = 0) + P(Y = k) = 1. ∑
k =2
f) E(Y ) = 6 . Sommes de dérivées de séries géométriques convergentes.
Exercice 14 (d’après ESCP 1997 voie E)
1) a) XcG (1− a) . Temps d’attente du premier succès.
1 a
b) et . E(X ) = V (X ) =
21− a (1− a)
+∞ k −1
k−1
c) P(X ≥ k) = a . Utiliser P(X ≥ k) = P(X = j) ou P(X ≥ k) = 1− P(X = j) . ∑ ∑
j=k j=1
2) Dans les résultats précédents, remplacer a par b.
1− a
3) P(Y ≥ X ) = . Utiliser les probabilités totales avec le système (X = k) . k≥1
1− ab
k−14) P(M ≥ k) = (ab) . Exprimer (M ≥ k) en fonction de (X ≥ k) et (Y ≥ k) .
En déduire que . McG (1 − ab)
k k k5) P(U ≤ k) = 1− a − b + (ab) . Exprimer en fonction de et . (U ≤ k) (X ≤ k) (Y ≤ k)
k −1 k−1 k −1P(U = k) = a (1− a) + b (1− b) − (ab) (1− ab) .
k−1 k −1(1− a)(1− b)(b − a )
si a ≠ b b − a6) a) ∀k ≥ 2 P(S = k) = . Utiliser la formule des 
k−2 2(k −1)a (1− a) si a = b

probabilités totales avec le système (X = j) . j≥1
j−k−1 k−1a b (b − a)
si k ≤ j −1 j−1 j−1 b − ab) Si a ≠ b : ∀k ≥ 2 P (Y = k) = . (S = j)
0 si k ≥ j

Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Réponses de Probabilités - 9 -

1
si k ≤ j −1 j −1
Si a = b : ∀k ≥ 2 P (Y = k) = . (S = j)
0 si k ≥ j

7) a) V (Ω) = .
(1− a)(1− b) k−1
b) P(V = 0) = et P[(M = k) ∩ (V = 0)] = (ab) (1− a)(1− b) .
1− ab
k−1 j jc) P[(M = k) ∩ (V = j)] = (ab) (1− a)(1− b)(a + b ) si k ≥ 1 et j ≥ 1.
j j(1− a)(1− b)(a + b ) (1− a)(1− b)
d) ∀j ≥ 1 P(V = j) = et P(V = 0) = .
1− ab 1− ab
e) Les variables aléatoires M et V sont indépendantes. Pour tous les k ∈* et
j ∈ , comparer P[(M = k) ∩ (V = j)] avec P(M = k) × P(V = j) .
Exercice 15 (d’après EDHEC 2007 voie S)
Partie A
1
1) P(X = 1) = . Utiliser les probabilités totales avec le système complet (U ,U ) .
2
2) (X = k) = B ∩...∩ B ∩ B . Puis utiliser les probabilités totales avec (U ,U ) . 1 k−1 k
k−1 k−1 1 n −1 1 1 n −1   
Donc : ∀k ≥ 1 P(X = k) = + .      
2 n n n n     
2n
3) E(X ) = . Sommes de dérivées de séries géométriques convergentes.
2(n −1)
2 2
n (3n −10n +10)
4) V (X ) = . Sommes de dérivées de séries géométriques convergentes.
2
4(n −1)
5) Symétrie des boules noires et blanches entre U et V.
6) Else Repeat x := x + 1 ; tirage := random(n) ; Until (tirage = n - 1) ;
Partie B
1
1) P(X = 1) = .
2
k −1
n −1 1
2) ∀k ≥ 2 P(X = k) = . La formule n’est pas vraie pour k = 1.  
2 n 
Utiliser la formule des probabilités composées.
3n − 2
3) E(X ) = . Somme de dérivée de série géométrique convergente.
2(n −1)
4) Reprendre pour Y le raisonnement du 1) et du 2).
5) Les 6 premières lignes sont inchangées. Ensuite, initialiser x à 1 et affecter
random(n) à tirage. La condition devient :
If ((hasard = 1) and (tirage = 0)) or ((hasard = 0) and (tirage <> 0)) Then ...
L’intérieur de la boucle ne change pas, mais la condition d’arrêt est : tirage <> 0.
Ensuite, afficher la valeur de x. (Il n’y a pas Else ...).
Partie C
1
1) P(X = 1) = .
2
k−1 k−1 1 n −1 1 1 n −1
2) ∀k ≥ 1 P(X = k) = + . Même raisonnement que dans A car     
2 n n n n     
on reste toujours dans l’urne U.
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3) Voir A - 3).
4) (Y = 2k) = B ∩...∩ B ∩ B . Utiliser la formule des probabilités composées. 1 2k −1 2k
A chaque tirage, on change d’urne.
5) (Y = 2k +1) = B ∩...∩ B ∩ B . Même raisonnement. 1 2k 2k+1
2 2 2 2n (n − 2n + 2) n (n + n −1)
6) lim S = et lim T = . Et E(Y ) = lim (S + T ) . m m m m2 2 2 2m→+∞ m→+∞ m→+∞(n − n +1) 2(n − n +1)
Exprimer les sommes partielles de ( jP(Y = j)) aux rangs pairs et impairs. ∑
7) si n = 2 . Et si n ≥ 3 . E(X ) = E(Y ) E(X ) > E(Y )
Exercice 16 (d’après HEC 2000 voie E)
Partie A
k +1
dx
1) a) Utiliser l’inégalité de la moyenne en remarquant : ln(k +1) − ln k = . ∫ xk
b) Sommer l’inégalité précédente de 1 à n et de 1 à n −1.
c) u ~ ln n . Attention : n +1 ~ n ne prouve pas ln(n +1) ~ ln n . n
2) a) Calculer le second membre et minorer.
b) Sommer l’inégalité précédente de 2 à n et majorer.
c) u − w ~ ln n car w = o(u ) . n n n n
Partie B
1) X est la variable certaine égale à 1. 1
3 1
2) X cU (2) , donc E(X ) = et V (X ) = . 2 2 2
2 4
3) a) I cU (n) . n
b) P (X = j) = 1 si j = 1 et P (X = j) = 0 si j ≥ 2. n n(I =1) (I =1)n n
c) Si I = k , le deuxième tirage s’effectue parmi les numéros de 1 à k −1, et le n
nombre de tirages nécessaires ensuite est donc X , donc X = 1+ X . k −1 n k −1
1
4) a) . P (X = 2) = 0 P (X = 2) = 1 P (X = 2) =3 3(I =1) (I = 2) 3(I = 3)3 3 3 2
1 1 1 11 17
b) P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = E(X ) = V (X ) = 3 3 3 3 3
3 2 6 6 36
Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer P(X = 2) . 3
5) a) On tire au plus n boules.
1 1
b) P(X = 1) = et P(X = n) = (il faut tirer les numéros par ordre décroissant). n n
n n!
c) Utiliser les probabilités totales avec le système complet d’événements (I = k) . n 1≤k≤n
d) nP(X = j) − (n −1)P(X = j) = P(X = j −1) . n n−1 n−1
e) Egalité à vérifier pour j = 1.
n
6) a) Calculer jP(X = j) en utilisant l’égalité précédente. Attention aux bornes. ∑ n
j=1
n 1
b) E(X ) = , donc E(X ) ~ ln n . Sommer E(X ) − E(X ) . n ∑ n k k−1
kk =1
2 12 2c) E(X ) = E(X ) + E(X ) + . n n−1 n−1
n n
d) V (X ) ~ ln n . Sommer V (X ) −V (X ) . n k k−1
7) a) La loi B (1) est la loi certaine égale à 1.
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