9 pages
Français

Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Variables aléatoires à densité : énoncés

-

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 2013
Nombre de lectures 560
Langue Français
Probabilités  
- 1 -
VARIABLES ALEATOIRES A DENSITE
 Exercice 1 SoitXune variable aléatoire dont la densitéfest définie par : f(x)=k(4xx2) six[0,4]f(x)=0 sinon. 1) Déterminer le réelk. 2) Déterminer la fonction de répartition deX. 3) Calculer l’espérance et la variance deX. 4) Déterminer une densité de probabilité deY=X. Exercice 2 1) Montrer que la fonction définie par :F(x)=1+1exest une fonction de répartition. SoitXune variable aléatoire à densité dont la fonction de répartition estF. 2) Préciser une densité de probabilitéfdeX. 3) Montrer queXadmet une espérance et la calculer. Exercice 3 (d’après Oral ESCP 2012) 1) Montrer que la fonctionf sur définie par :f x=2 de ( )π(ex+ex) densité est une probabilité. 2) SoitXune variable aléatoire de densitéf (sur un espace probabiliséΩ,,P) . a) Déterminer la fonction de répartition deX. b) La variable aléatoireXadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer. 3) On définit la variable aléatoire réelleY=eX. a) Déterminer une densité deY. b) La variable aléatoireYadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer. Exercice 4
1) Soitα > Déterminer le réel0 .k pour que la fonctionf définie sur par : f(x)=αk+1six1 etf(x)=0 six<1 soit une densité de probabilité. 2) SoitXune variable aléatoire de densitéfsur un espace probabilisé (Ω,,P) . a) Déterminer la fonction de répartition deX. b) La variable aléatoireXadmet-elle une espérance ? Si elle existe, la calculer. c) La variable aléatoireXadmet-elle une variance ? Si elle existe, la calculer. Exercice 5 1) SoitX . Détermineraléatoire à densité qui suit la loi uniforme ([0,2]) variable  une une densité des variables aléatoires suivantes : ab))  YY==12XX+.. 3)d  Y=X1. c) Y=X2e) . Y=lnX. 2) SoitX ([à densité qui suit la loi uniformeune variable aléatoire 1,2]) . Déterminer une densité des variables aléatoires suivantes : a) Y=X2. b) Y=X. 3) SoitXà densité qui suit la loi uniformeune variable aléatoire  ([1,2]) . Déterminer la loi de probabilité deY=Ent(X) .