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Description

Tangentes à la parabole Pour construire un point M, on se donne un point M? sur la directrice, le point M se trouve à l'intersection de la médiatrice de [M?F] avec la perpendiculaire à la directrice issue de M?. La médiatrice est alors la tangente à la parabole. En effet : Considérons un repère orthonormal dont l'origine est le milieu O de [FF?]. Nous avons alors (a ≠ 0) : F(0, a) ; F?(0, ?a) ; M(x, y) ; M?(x, ?a) ; MF = MM? Le coefficient directeur de la tangente en M0(x0, y0) est : La médiatrice de [M0F] a pour coefficient directeur : La tangente et la médiatrice ont même coefficient directeur, elles passent par M0 ; elles sont donc confondues. ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? M F // u ruuu x a a x x a 0 0 02 2 1 2 ?? . x a 0 2 . ? =f x a x( ) .0 0 1 2 MM MF MF MM2 2? = ? = ? ? ? + + = ? + ?( ) ( ) ( ) ( )x x y a x a y2 2 2 20 ? = =y f x a x( ) .

• appelée diamètre de la parabole


• lieu des milieux des cordes


• tangente


• coefficient directeur de la tangente en m0


• directrice ∆


• parabole parallèle

Sujets

• Tangente

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

Antan-Texte 19/01/09 8:01 Page18

18 Vers le centenaire de l’APMEP

Tangentes à la parabole

Pour construire un point M, on se donne un point M′sur la directrice, le point M se trouve à l’intersection de la médiatrice de [M′F] avec la perpendiculaire à la directrice issue de M′. La médiatrice est alors la tangente à la parabole. En effet :

Considérons un repère orthonormal dont l’origine est le milieu O de [FF′]. Nous avons alors (a≠0) : F(0,a) ; F′(0,−a) ; M(x,y) ; M′(x,−a) ; MF=MM′ 2 22 22 2 MM′ =MF⇔MF=MM′ ⇔(x−x)+(y+a)=(0−x)+(a−y) 1 2 ⇔y=f(x)=x. 4a 1 Le coefficient directeur de la tangente en M(x,y) est : f ′ (x)=x. 0 00 0 0 2a x 0 La médiatrice de [MF] a pour coefficient directeur : . 0 2a  1  uuuur  x 0   2a   M ′ F⊥// . x    0  −2a   x 0      2a La tangente et la médiatrice ont même coeficient directeur, elles passent par M; elles 0 sont donc confondues.

APMEP o n 480

APMEP o n 480

Problèmes d’antan 4 19

F ¢ B J A

B ¢

F M E H H B J ¢ F 1 H A

C

Analyse Supposons le problème résolu. Diamètre : Soient A et B deux points construits comme indiqués précédemment. A′et B′sont leurs projections orthogonales respectives sur la directriceΔ. A et B sont les centres des cercles Cet Cde rayons AF et BF respectivement. A B Ces deux cercles se coupent en un autre point F′. La droitef=(FF′) coupeΔen J′. Si F=F′, on considère la droiteftangente commune aux deux cercles. On a (puissance d’un point par rapport à un cercle) : 2 2 J′F×J′F ′ = J′A′ =J′B′ ⇒J′A′= J′B′. Ainsi J′est le milieu de [A′B′]. La droitef. Siest perpendiculaire à la droite (AB). Elle passe par le point fixe F l’on considère deux autres pointsA etB situés sur une autre corde à la parabole parallèle à (AB), le point J′ne changera pas. Soit J le projeté de J′sur (AB) parallèlement à l’axe (FF). C’est le milieu du 1 segment [AB] et (JJ′) est la médiatrice de [A′B′]. Ainsi : Le lieu des milieux des cordes d’une parabole parallèles à une direction (AB) est une droite parallèle à l’axe ; cette droite est appelée diamètre de la parabole relativement à la corde [AB]. Cette corde

Antan-Texte 19/01/09 8:01 Page19

APMEP o n 480

Problèmes d’antan 4 19

F ¢ B J A

B ¢

F M E H F H B J ¢ 1 H A

C

Analyse Supposons le problème résolu. Diamètre : Soient A et B deux points construits comme indiqués précédemment. A′et B′sont leurs projections orthogonales respectives sur la directriceΔ. A et B sont les centres des cercles Cet Cde rayons AF et BF respectivement. A B Ces deux cercles se coupent en un autre point F′. La droitef=(FF′) coupeΔen J′. Si F=F′, on considère la droiteftangente commune aux deux cercles. On a (puissance d’un point par rapport à un cercle) : 2 2 J′F×J′F ′ = J′A′ =J′B′ ⇒J′A′= J′B′. Ainsi J′est le milieu de [A′B′]. La droitefest perpendiculaire à la droite (AB). Elle passe par le point fixe F. Si l’on considère deux autres pointsA etB situés sur une autre corde à la parabole parallèle à (AB), le point J′ne changera pas. Soit J le projeté de J′). C’est le milieu dusur (AB) parallèlement à l’axe (FF 1 segment [AB] et (JJ′) est la médiatrice de [A′B′]. Ainsi : Le lieu des milieux des cordes d’une parabole parallèles à une direction (AB) est une droite parallèle à l’axe ; cette droite est appelée diamètre de la parabole relativement à la corde [AB]. Cette corde