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PCSIB Mécanique

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PCSIB Mécanique 2011-2012 TD11 Système de deux points matériels 4 Positronium 1. Comme les 2 particules ont même masse, le centre de masse C est au milieu du segment reliant les 2 particules et les rayons des trajectoires sont identiques. 2. L'énergie potentielle est due uniquement à l'interaction électrostatique entre l'électron et le positron (l'interaction gravitationnelle est négligeable) donc, en notant r la distance entre les 2 particules : Ep = ? e 2 4pi0r Le centre de masse étant fixe dans le référentiel du laboratoire, on a Ec = E?c . Comme l'énergie cinétique barycentrique E?c est l'énergie cinétique d'une particule fictive M de masse µ = m 2 m+m = m 2 , repéré par le vecteur position ??? CM = ????? M1M2, on en déduit que Ec = 12 m 2 v 2 avec ??v = d ??? CM dt . Ainsi, E = 14mv 2 ? e 2 4pi0r Expression de v en fonction de r La particule fictive décrit un cercle de rayon r, de centre C et n'est soumis qu'à la force d'interaction : ?? F = ? e 2 4pi0r2 ??ur où ??ur est le vecteur unitaire dirigé de C vers M . Cette force étant centrale, le moment cinétique ??? ? est un vecteur constant : le mouvement est plan.

  • interaction électrostatique entre l'électron

  • minimum de ep

  • vecteur constant

  • système isolé

  • particule

  • energie cinétique


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Langue Français
PCSIB
MÉcanique
2011-2012
TD11 SystÈme de deux points matÉriels 4Positronium 1. Commeles 2 particules ont mme masse, le centre de masseCest au milieu du segment reliant les 2 particules et les rayons des trajectoires sont identiques.
2. L’Énergiepotentielle est due uniquement À l’interaction Électrostatique entre l’Électron et le positron (l’interaction gravitationnelle est nÉgligeable) donc, en notantrla distance entre les 2 particules : 2 e Ep=4π0r Le centre de masse Étant fixe dans le rÉfÉrentiel du laboratoire, on aEc=E. Comme c l’Énergie cinÉtique barycentriqueEest l’Énergie cinÉtique d’une particule fictiveMde masse c −−→−−→ 2 m m µ= =, repÉrÉ par le vecteur positionCM=M1M2, on en dÉduit que m+m2 1m2 Ec=v 2 2 −−→ −→dCM avecv=. dt Ainsi, 2 1 2e E=mv4 4π0r
Expression deven fonction der La particule fictive dÉcrit un cercle de rayonr, de centreCet n’est soumis qu’À la force −→2 ed’interaction :F=2ururest le vecteur unitaire dirigÉ deCversM. 4π0r −→Cette force Étant centrale, le moment cinÉtiqueσest un vecteur constant : le mouvement −−→ −→ −→−→ ˙ est plan. De plus, en coordonnÉes polaires,CM=ruretv=rθuθ(carrest constant) donc 2 ˙ r θest une constante du mouvement. −→ ˙ Commerest constant, on en dÉduit queθest constant et donc que la norme devest constante : le mouvement circulaire est uniforme. 2 −→2v−→ ˙ Ainsi,a=u~θrr=uret en appliquant le PFD À la particule fictive, on a r