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PSI Novembre MATHEMATIQUES

4 pages
PSI Novembre 2011 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces vectoriels normés Exercice 1 : On note L le IR-e.v des applications lipschitziennes de [0, 1] dans IR et E = C1([0, 1]). 1. Montrer que ?.? : L ? IR définie par : ?f ? L, ?f? = |f(0)|+ Sup (x, y) ? [0, 1]2 x 6= y |f(x)? f(y)| |x? y| est une norme sur L. 2. Montrer que N : E ? IR définie par : ?f ? E,N(f) = |f(0)|+ Sup x?[0,1] |f ?(x)| est une norme sur E et qu'elle coïncide avec la restriction de ?.? à E. 3. En considérant la suite de fonctions (fn)n?IN? définie sur [0, 1] par : fn : x 7?? { 1 n ? nx si 0 ≤ x ≤ 1 n2 0 si 1n2 ≤ x ≤ 1 montrer que ?.? n'est pas équivalente à ?.?∞. Exercice 2 : E = C1([0, 1], IR).

  • sens de ? ·

  • feuille d'exercices espaces vectoriels

  • ??

  • unique point fixe


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PSI MATHEMATIQUES
Novembre 2011
Feuille d’Exercices Espaces vectoriels normÉs
Exercice 1: 1 On noteLleIR-e.v des applications lipschitziennes de[0,1]dansIRetE=C([0,1]). 1. Montrer quek.k:LIRdÉfinie par : |f(x)f(y)| fL,kfk=|f(0)|+ Sup 2|xy| (x, y)[0,1] x6=y est une norme surL. 2. Montrer queN:EIRdÉfinie par : 0 fE, N(f) =|f(0)|+ Sup|f(x)| x[0,1] est une norme surEet qu’elle concide avec la restriction dek.kÀE. 3. En considÉrant la suite de fonctions(fn)nINdÉfinie sur[0,1]par : 1 1 nxsi0x2 n n fn:x71 0si2x1 n
montrer quek.kn’est pas Équivalente Àk.k.
Exercice 2: 10 E=C([0,1],IR). Montrer queN:f7kfk+kfkest une norme. Les normes N etk.ksont-elles Équivalentes?.
Exercice 3: R 1 0x SoitE=C([0,1]RI,). On poseN1(f) = Sup|f(x)|etN2(f) =e f(x)dx. 0 x[0,1] 1. DÉmontrer queN1etN2sont des normes. 2. Trouverktel quefE, N2(f)kN1(f). 1 3. On considÈrefn:fn(x) = 1nxsi0xetfn(x) = 0sinon. Lesfnsont-elles n dansE? Etudier les limites de(fn)dans(E, N1)et(E, N2). Les normes sont-elles Équivalentes?.
Exercice 4: q R 1 1 202 SoitE=C([0,1]IR,). On noteN(f) =f((0) +f(t)). 0 1. Montrer que c’est une norme . R x 0 2. Montrer qur,fE,kfk2N(f)Indication Écriref(x) =f(0) +f(t)dt 0 3. Montrer que les normes ne sont pas Équivalentes.
Exercice 5:  n 1 1 n Trouver la limte de la suite(An)n1An=1. 1 n
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