Résumé du cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS,

Catherine Laidebeure

Description

Ce résumé du cours de mathématiques de première année de classe préparatoire économique et commerciale voie scientifique (ECS1) se compose de 43 fiches indépendantes présentées dans un document de synthèse de 58 pages à table des matières interactive. Chaque fiche fait également l'objet d'un article publié en rubrique "Mathématiques" sur le Wiki SILLAGES http://wiki.sillages.info

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 350
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 1






RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES

Classes préparatoires économiques et commerciales option scientifique, première année (ECS1)


Catherine Laidebeure
Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy
2009 – 2010 Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 2
Fiche 1 Calcul algébrique page 3 Fiche 23 Généralités sur les fonctions page 28
Fiche 2 Identités remarquables page 4 Fiche 24 Limites page 29
Fiche 3 Sommes et produits page 5 Fiche 25 Interprétation des limites page 31
Fiche 4 Ensembles page 6 Fiche 26 Comparaison locale des fonctions page 32
Fiche 5 Récurrence page 7 Fiche 27 Continuité page 33
Fiche 6 Ensemble des réels page 8 Fiche 28 Dérivation page 34
Fiche 7 Trigonométrie page 9 Fiche 29 Convexité page 36
Fiche 8 Nombres complexes page 10 Fiche 30 Plan d’étude d’une fonction page 37
Fiche 9 Applications page 11 Fiche 31 Primitives page 38
Fiche 10 Polynômes page 12 Fiche 32 Intégrales définies page 39
Fiche 11 Logarithme népérien page 13 Fiche 33 Formules de Taylor page 41
Fiche 12 Exponentielle page 14 Fiche 34 Développements limités page 42
Fiche 13 Autres fonctions exponentielles page 15 Fiche 35 Systèmes d’équations linéaires page 44
Fiche 14 Fonctions puissances page 16 Fiche 36 Espaces vectoriels page 45
Fiche 15 Fonctions trigonométriques page 17 Fiche 37 Applications linéaires page 47
Fiche 16 Suites usuelles page 19 Fiche 38 Matrices page 49
Fiche 17 Suites numériques page 20 Fiche 39 Changement de base page 51
Fiche 18 Séries numériques page 22 Fiche 40 Réduction des endomorphismes page 52
Fiche 19 Dénombrement page 23 Fiche 41 Couples de variables aléatoires page 53
Fiche 20 Espaces probabilisés page 24 Fiche 42 Convergences et approximations page 54
Fiche 21 Variables aléatoires discrètes page 26 Fiche 43 Fonctions de deux variables page 55
Fiche 22 Lois discrètes finies et infinies page 27 Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 3
fiche n°1 fiche n°1 (suite)
Racines carrées
CALCUL ALGEBRIQUE

2
a est l’unique solution positive de l’équation .
x = a

Fractions a est défini si et seulement si a ≥ 0.
2
a
2
est défini si et seulement si b ≠ 0 . a ≥ 0 ( a) = a a = a
b
a a
a a
 
ab = a b = si a ≥ 0 et b > 0
= 0⇔ a = 0 Sgn = Sgn(ab)
 
b
b
b b
 
a+ b ≤ a + b Mais en général a+ b ≠ a + b
a c ad + bc a c ac a c ad
+ = × = : =
b d bd b d bd b d bc 0≤ a≤ b ⇔ a ≤ b

a
 b≥ 0  b≥ 0
si
a = b⇔ a < b⇔ a ≥ 0
 
a ac a a ac 2 2
b
a = b a< b
× c = = =
 
b
b b c bc b
b≥ 0

c a > b⇔ b< 0 ou

2
a > b

Puissances
Valeurs absolues
0 n
(n fois) si
a = 1 a = a×...× a n∈ *
a si a≥ 0  − a ≤ a ≤ a

1
−n 1 n b bln a
n
a = donc et 0 = 0
a =  
a = a a = e si a > 0
n
− a si a< 0 a = Max(a,−a)


a
b
2
c
a
b−c
b c b+c b bc a ≥ 0 a = a pour tout a réel
= a (a ) = a
a × a = a
c
a
a
a
c ab = a b si
c = b ≠ 0
a a
 
c c c
b b
a × b = (ab) =
 
c
b
b  
a+ b ≤ a + b Mais en général : a+ b ≠ a + b
Inégalités
0≤ a ≤ b⇒ a ≤ b Mais : a ≤ b ≤ 0⇒ b ≤ a
Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur
différence : a < b ⇔ b− a > 0.
a = b⇔ a = b ou a = −b
et ⇒ a < c (on note )
a < b b < c a < b < c 
a < b⇔ −b< a < b si b ≥ 0

a < b et a'< b' ⇒ a+ a'< b+ b'

a > b⇔ a <−b ou a > b

0< a < b et 0< a'< b'⇒ aa'< bb' (seulement s’ils sont positifs)
Inverses
a< b⇒ a+ c< b+ c
1 1
ac< bc si c > 0
 a < b ⇔ < si et seulement si a et b sont de même signe.
a< b⇒
b a

ac > bc si c< 0
Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 4
fiche n°2
IDENTITES REMARQUABLES


Identités usuelles
2 2 2
(a+ b) = a + 2ab+ b
2 2 2
(a− b) = a − 2ab+ b
2 2
(a− b)(a+ b) = a − b
2 2 2 2
(a+ b+ c) = a + b + c + 2ab+ 2ac+ 2bc
3 3 2 2 3
(a+ b) = a + 3a b+ 3ab + b
3 3 2 2 3
(a− b) = a − 3a b+ 3ab − b
3 3 2 2
a − b = (a− b)(a + ab+ b )
3 3 2 2
a + b = (a+ b)(a − ab+ b )
Généralisation
n n n−1 n−2 n−3 2 n−2 n−1
a − b = (a− b)(a + a b+ a b + ...+ ab + b )
n−1 n−1
n n n−1−k k k n−1−k
a − b = (a− b) a b = (a− b) a b
∑ ∑
k=0 k=0
n n
La formule ne se généralise que si n est impair.
a + b
n−1
n n k n−1−k k
a + b = (a+ b) (−1) a b
∑
k=0
Formule du binôme de Newton
n n
n n n
      n!
n k n−k n−k k
(a+ b) = a b = a b avec =
∑ ∑
     
k k k
k!(n− k)!
k=0 k=0
     
 n  n n+1 n n
     
Propriétés :     et
= = +
     
   
n− k k k k k −1
         
n n
n n
   
n k
Conséquence : = 2 (−1) = 0
∑  ∑  
k k
k=0 k=0
   Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy 5
fiche n°3
SOMMES ET PRODUITS


Propriétés des Sommes
n n n n n
λu =λ u (u + v ) = u + v
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
k k k k k k
k= p k= p k= p k= p k= p
q
n n
Si p≤ q< n : u = u + u
∑ k ∑ k ∑ k
k= p k= p k=q+1
n n
a = a(n− p+1) (u − u ) = u − u
∑ ∑
k+1 k n+1 p
k= p k= p
Sommes usuelles
n n
n(n+1) n(n+1)(2n+1)
2
k = k =
∑ ∑
2 6
k=1 k=1
n 2 2 n n+1
n (n+1) 1− x
3 k
k = x = = S (x) si x ≠ 1
∑ ∑ n
4 1− x
k=1 k=0
n n
k−1 k−2
Si x ≠ 1 : kx = S ' (x) k(k −1)x = S " (x)
∑ n ∑ n
k=0 k=0
Propriétés des Produits
n n n n n
  
n− p+1
λu =λ u (u v ) = u  v 
∏ k ∏ k ∏ k k ∏ k ∏ k
  
k= p k= p k= p k= p k= p
  
q
n n
  
Si p ≤ q < n : u = u  u 
∏ k ∏ k ∏ k
  
k= p k= p k=q+1
  
n n
u u
n− p+1 k+1 n+1
a = a =
∏ ∏
u u
k= p k= p k p
Produit usuel
n
k = n! Propriétés : (n+1)!= (n+1)× n! et 0!= 1
∏
k=1
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fiche n°4 fiche n°4 (suite)

ENSEMBLES
Différence symétrique de deux parties de E

AΔB= x∈ E / x∈ A ou (exclusif) x∈ B .
{ }
Inclus