Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Diagonalisation de forme bilinéaire symétrique

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Diagonalisation de forme bilinéaire symétrique Exercice 1 [ 00024 ] [correction] Soit A∈M (R) inversible.n ta) Justifier que AA est la matrice dans la base canonique d’un produit scalaire nsurR . b) En orthonormalisant la base canonique pour ce produit scalaire, établir qu’il existe une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs P vérifiant t tP AAP =In c) Etablir qu’il existe Q orthogonale et R triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs vérifiant A =QR. d) Etudier l’unicité de cette écriture. Exercice 2 [ 00019 ] [correction] [Décomposition de Cholesky] ++Soit S ∈S (R). Montrer qu’il existe une unique matrice triangulaire supérieuren tT à coefficients diagonaux positifs vérifiant S = TT. Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02760 ] [correction] Montrer que le déterminant d’une matrice symétrique réelle définie positive est majoré par le produit de ses éléments diagonaux. Exercice 4 [ 03087 ] [correction] [Inégalité de Hadamard] ++Soit S = (s )∈S (R).i,j n + ta) Montrer qu’il existe T ∈T (R) vérifiant S = TT.n b) En déduire que nY detS6 si,i i=1 c) Etablir que pour tout A = (a )∈M (R)i,j n  1/2 n nYX 2 |detA|6 ai,j j=1i=1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 nPCorrections t 2 2donne M = PP.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Diagonalisation de forme bilinéaire

symétrique

Exercice 1 [ 00024 ] [correction] SoitA∈ M n (R)inversible. a) Justifier que t AAest la matrice dans la base canonique d’un produit scalaire surR n . b) En orthonormalisant la base canonique pour ce produit scalaire, établir qu’il existe une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifsPvérifiant t P t AAP=I n

c) Etablir qu’il existeQorthogonale etRtriangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs vérifiantA=QR. d) Etudier l’unicité de cette écriture.

Enoncés

Exercice 2 [ 00019 ] [correction] [Décomposition de Cholesky] SoitS∈ S n ++ (R). Montrer qu’il existe une unique matrice triangulaire supérieure Tà coefficients diagonaux positifs vérifiantS= t T T.

Exercice 3Mines-Ponts MP [ 02760 ] [correction] Montrer que le déterminant d’une matrice symétrique réelle définie positive est majoré par le produit de ses éléments diagonaux. Exercice 4 [ 03087 ] [correction] [Inégalité de Hadamard] SoitS= (s ij )∈ S n ++ (R). a) Montrer qu’il existeT∈T n + (R)vérifiantS= t T T. b) En déduire que n detS6 Y s ii i=1 c) Etablir que pour toutA= (a ij )∈ M n (R) n A|6  nX a 2 |det  j= Y 1i=1 i 2 j   1

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