Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Matrices symétriques définies positives

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Matrices symétriques définies positives Exercice 6 [ 00017 ] [correction] [Décomposition de Cartan] Soit A∈ GL (R).nExercice 1 [ 03158 ] [correction] t ++a) Etablir que AA∈S (R).nSoit   ++b) Montrer qu’il existe une matrice S∈S (R) telle que1 1 ··· 1 n  1 2 ··· 2 2 t  S = AAA =  = (min(i,j)) ∈M (R). . . n16i,j6n. . . . . . c) Conclure 1 2 ··· n ++∀A∈ GL (R),∃(O,S)∈O (R)×S (R), A =OSn n nMontrer que la matrice A est symétrique définie positive. d) Etablir l’unicité de cette écriture. Exercice 2 [ 00022 ] [correction] [Matrice de Hilbert] Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02761 ] [correction] Soit Soit A∈M (R). Montrer que A est symétrique positive si, et seulement si, il n 1 texiste P∈M (R) telle que A = PP.nH = ∈M (R)n i +j− 1 Montrer que A est symétrique définie positive si, et seulement si, il existe16i,j6n tP∈ GL (R) telle que A = PP.nMontrer que H est diagonalisable à valeurs propres strictement positives. Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02754 ] [correction] Exercice 3 [ 00014 ] [correction] ++a) Déterminer le sous-espace vectoriel deM (R) engendré parS (R).n n++Soit A = (a )∈S (R). ++i,j n Soit A ,...,A des éléments deS (R) et λ ,...,λ des réels. On pose1 k 1 knta) Montrer que ϕ(X,Y ) = XAY définit un produit scalaire surM (R).n,1 2 k kX Xb) En appliquant Cauchy-Schwarz, en déduire que pour tout i =j : a 0. b) On suppose encore la matrice A définie positive. Etablir que pour tout p∈{1,...,n}, detA > 0.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Matrices symétriques définies positives

Exercice 1[ 03158 ][correction]
Soit
1 1∙ ∙ ∙12
1 2∙ ∙ ∙
A== (min(i j))16ij6
1.2.∙ ∙ ∙.n
Montrer que la matriceAest symétrique définie positive.

n∈ Mn(R)

Exercice 2[ 00022 ][correction]
[Matrice de Hilbert]
Soit
H=i+j1−116ij6n∈ Mn(R)
Montrer queHest diagonalisable à valeurs propres strictement positives.

Enoncés

Exercice 3[ 00014 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Sn++(R).
a) Montrer queϕ(X Y) =tXAYdéfinit un produit scalaire surMn1(R).
.
b) En appliquant Cauchy-Schwarz, en déduire que pour touti6=j:ai2j< aiiajj

Exercice 4[ 00021 ][correction]
[Mineurs de Gauss]
PourA= (aij)16ij6n∈ Sn(R), on poseAp= (aij)16ij6ppour tout
p∈ {1     n}
a) On suppose que la matriceAest définie positive.
Justifier quedetA >0.
b) On suppose encore la matriceAdéfinie positive.
Etablir que pour toutp∈ {1     n},detAp>0.
c) Justifier la réciproque en raisonnant par récurrence surn∈N?.

Exercice 5[ 03151 ][correction]
SoientA∈ Sn++(R)etB∈ Sn+(R).
Montrer que la matriceIn+ABest inversible.

Exercice 6[ 00017 ][correction]
[Décomposition de Cartan]
SoitA∈GLn(R).
a) Etablir quetAA∈ Sn++(R).
b) Montrer qu’il existe une matriceS∈ Sn++(R)telle que
S2=tAA

c) Conclure

∀A∈GLn(R),∃(O S)∈ On(R)× Sn++(R),A=OS
d) Etablir l’unicité de cette écriture.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02761 ][correction]
SoitA∈ Mn(R). Montrer queAest symétrique positive si, et seulement si, il
existeP∈ Mn(R)telle queA=tP P.
Montrer queAsymétrique définie positive si, et seulement si, il existeest
P∈GLn(R)telle queA=tP P.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02754 ][correction]
++
a) Déterminer le sous-espace vectoriel deMn(R)engendré parSn(R).
SoitA1     Akdes éléments deSn++(R)etλ1     λkdes réels. On pose
k k
A=XλiAietB=X|λi|Ai
i=1i=1
b) Montrer que, pourX∈Rn,
tXAX6tXBX

c) Montrer que

|detA|6detB

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02755 ][correction]
SoientA∈ Sn++(R)etB∈ Sn+(R).
a) Montrer l’existence deC∈ Sn++(R)telle queC2=A−1.
b) On poseD=CBC. Montrer que

c) Montrer que

(det(I+D))1n>1 + (detD)1n

(det(A+B))1n>(detA)1n+ (detB)1n

1

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Exercice 10[ 03170 ][correction]
SoientA B∈ Sn++(R). Montrer

(A+B)−16=A

−1+B

−1

Exercice 11[ 03174 ][correction]
SoitS∈ Sn(R). Montrer que la comatrice deSest symétrique.
Mme question avecS∈ Sn++(R)puisS∈ Sn+(R).

Enoncés

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La matriceAest évidemment symétrique.
Posons
T=1∙.∙ ∙1∈GLn(R)
.
..
(0) 1

On remarque

A=tT T

On en déduit que pour toutX∈ Mn1(R)

tXAX=t(T X)T X=kT Xk2>0

avec égalité si, et seulement si,T X= 0ce qui donneX= 0.

Exercice 2 :[énoncé]
Hest symétrique donc diagonalisable.
Hest la matrice du produit scalaire
(P Q)7→Z10P(t)Q(t)dt

Corrections

surRn−1[X]doncHest définie positive et donc à valeurs propres strictement
positives.

Exercice 3 :[énoncé]
a)ϕest clairement bilinéaire, symétrique carAl’est et définie positive car
A∈ Sn++(R).
b) NotonsE1     Enles matrices élémentaires deMn1(R).
ϕ(Ei Ej) =aij,ϕ(Ei Ei) =aiietϕ(Ej Ej) =ajjdonc l’inégalité de
Cauchy-Schwarz donneai2j6aiiajj.
De plus, s’il y a égalité alorsEietEjsont colinéaires ce qui ne peut tre le cas
que siEi=Ej.

Exercice 4 :[énoncé]
a) SiAest définie positive alors SpA⊂R+?. De plusAest symétrique réelle donc

3

diagonalisable etdetAest le produit des valeurs propres deAcomptées avec
multiplicité. Par suitedetA >0.
b)Ap∈ Sp(R)et pour toutX∈ Mp1(R)tXApX=tX0AX0avecX0∈ Mn1(R)
,
la colonne obtenue en poursuivant la colonneXde coefficients nuls. On en déduit
que siA∈ Sn++(R)alorsAp∈ Sp++(R)puisdetAp>0.
c) La propriété est immédiate au rangn= 1.
Supposons la propriété acquise au rangn>1.
SoitA∈ Sn+1(R)vérifiant pour toutp∈ {1     n+ 1},detAp>0.
Par blocs,Aest de la forme
A=tACnnCλn

Par application de l’hypothèse de récurrence,An∈ Sn++(R). Il existe donc
Pn∈ On(R)vérifianttP AP=Dn=diag(λ1     λn)avecλi>0.
Considérons alors
Pn+1=P0nX1n∈GLn+1(R)

On a
tPn+1APn+1=tYDnn?Yn
avecYn=tPn(AXn+Cn).
En choisissantXn=−An−1Cn, on obtient
tPn+1APn+1=Dn0?
0

avecλn+1>0cardetA >0entraîneλ1   λn+1>0.
On peut alors affirmer queAest symétrique définie positive carAreprésente une
telle forme bilinéaire symétrique dans une certaine base.
Récurrence établie.

Exercice 5 :[énoncé]
On peut écrire
In+AB=AA−1+B
La matriceA−1+Best symétrique réelle et vérifie

∀X∈ Mn1(R) {0}tX(A−1+B)X=tXA−1X+tXBX >0

On en déduit queA−1+Best inversible car élément deSn++(R)et doncIn+AB
est inversible par produit de matrices inversibles.

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Exercice 6 :[énoncé]
a) Pour toute colonneX,

et

tXtAAX=t(AX)AX>0

t
XtAAX= 0⇒AX= 0⇒X= 0

b) Par le théorème spectral, il existeP∈ On(R)tel que
tPtAAP=diag(λ1     λn)avecλi>0.
La matrice
S=tPdiag(pλ1    pλn)P

Corrections

est alors solution.
c) PosonsO=AS−1. On aA=OSettOO=tS−1tAAS−1=IndoncO∈ On(R)
etA=OS.
d) SiA=OSalorsS2=tAA.
Pourλ∈Sp(tAA),
ker(tAA−λIn) = ker(S2−λIn)
Or par le lemme de décomposition des noyaux,
ker(S2−λIn) = ker(S−√λIn)⊕ker(S+√λIn)

carλ >0. Or
ker(S+√λIn) ={0}
car SpS⊂R+?. Ainsi pour toutλ∈Sp(tAA),

ker(tAA−λIn) = ker(S−λIn)

ce qui suffit à établir l’unicité deScar

Mn1(R) =λ∈Sp(⊕ker(tAA−λIn)
tAA)

Exercice 7 :[énoncé]
SiA=tP Palors il est facile d’établir queAest symétrique positive (voire définie
positive siPest inversible). Inversement, siAest symétrique positive alors par le
théorème spectral, on peut écrireA=tQDQavecQ∈ On(R),
D=diag(λ1     λn)etλi>0(voireλi>0siAest définie positive). Pour
P= ΔQavecΔ =diag(√λ1    √λn)on dispose d’une matrice solution
(inversible dans le cas où est définie positive.)

4

Exercice 8 :[énoncé]
+
a) VectSn+(R) =Sn(R)notamment parce qu’une matrice symétrique peut
s’écrire comme différence de deux matrices symétriques définies positives via
diagonalisation.
k
b)tXAX=PλitXAiXavectXAiX>0donc
i=1
k
|tXAX|6P|λi|tXAiX=tXBX.
i=1
c) CasB=In.
La matriceAest diagonal