Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Matrices symétriques positives
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013
Matrices symétriques positives
Exercice 1[ 00010 ][correction]
Soienta b ctrois vecteurs deR3et
a ab ac
M=acccbcbabbbca
Montrer queMdiagonalisable, de valeurs propres positives etdetM>0.
Exercice 2[ 02549 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)symétrique dont toutes les valeurs propres sont positives.
Montrer que pour toutX∈ Mn1(R),
tXAX∈R+
Exercice 3[ 00011 ][correction]
SoitA∈ Sn(R). Montrer queA∈ Sn+(R)si, et seulement si, ses valeurs propres
sont positives ou nulles.
Exercice 4[ 00013 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Sn+(R).
a) Montrer que pour touti∈ {1 n},aii>0.
b) Observer que siaii= 0alors, pour toutj∈ {1 n},aij= 0.
Enoncés
Exercice 5[ 03091 ][correction]
SoitA∈ Sn+(R). On veut montrer qu’il existe une unique matriceB∈ Sn+(R)telle
que
B2=A
a) Prouver l’existence.
On considère maintenantB∈ Sn+(R)vérifiantB2=A
b) Etablir par le lemme de décomposition des noyaux que pour toutλ >0
ker(B√−λIn) = ker(A−λIn)
c) Montrer aussi
d) Conclure l’unicité.
kerB= kerA
1
Exercice 6[ 00015 ][correction]
SoitA∈ Sn+(R). On veut montrer qu’il existe une unique matriceB∈ Sn+(R)telle
que
B2=A
a) Prouver l’existence.
b) Etablir que siB∈ Sn+(R)vérifieB2=Aalors pour toutλ∈SpA,
ker(B−√λIn)⊂ker(A−λIn)
puis
c) Conclure l’unicité.
ker(B−√λIn) = ker(A−λIn)
Exercice 7[ 03090 ][correction]
SoitS∈ Sn+(R).
+
a) Montrer qu’il existe une matriceA∈ Sn(R)qui est un polynôme enSvérifiant
A2=S
b) SoitB∈ Sn+(R)vérifiantB2=S. Montrer queBcommute avecApuis que
B=A.
Exercice 8[ 00016 ][correction]
SoitA∈ Sn+(R). Montrer qu’il existe une unique matriceB∈ Sn+(R)telle que
B2=A.
Exercice 9[ 00018 ][correction]
SoitM∈ Mn(R). Montrer queA=tM M∈ Sn+(R).
Inversement pourA∈ S+(R)établir qu’il existeM∈ Mn(R)tel queA=tM M.
n
Exercice 10[ 00020 ][correction]
[Décomposition de Cholesky]
SoitS∈ Sn+(R). Montrer qu’il existeT∈Tn+(R)telle queS=tT T.
Exercice 11Mines-Ponts MP[ 03752 ][correction]
SoientAune matrice symétrique réelle positive etUune matrice orthogonale de
mme taille.
Comparer tr(AU)et tr(U A)à trA.
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Enoncés
Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02759 ][correction]
On munitMn(R)du produit scalaire canonique. On noteAn(R)l’ensemble des
matrices antisymétriques deMn(R)etSn+(R)l’ensemble des matrices
symétriques positives.
SoitA∈ Mn(R)telle que pour toutU∈ On(R), tr(AU)6trA.
a) Déterminer le supplémentaire orthogonal deAn(R).
b) SoitB∈ An(R). Montrer que pour toutx∈R,exp(xB)∈ On(R).
c) Montrer queA∈ Sn+(R).
d) Etudier la réciproque.
e) Montrer que pour toute matriceM∈ Mn(R)il existeS∈ Sn+(R)etU∈ On(R)
telles queM=SU.
Exercice 13[ 03150 ][correction]
SoientA B∈ Sn+(R). Montrer
tr(AB)6tr(A)tr(B)
Exercice 14[ 03168 ][correction]
SoientA B∈ Sn+(R). Montrer
tr(AB)>0
Exercice 15[ 03169 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)une matrice symétrique positive dont tous les coefficients sont
non nuls.
On pose
B= (1aij)16ij6n
Montrer
B∈ Sn+(R)⇔rgA= 1
Exercice 16[ 03175 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Sn+(R). On notemle plus grand coefficient de la diagonale dem.
Etablir
∀16i j6n|aij|6m
Exercice 17Centrale MP[ 02514 ][correction]
SoitAune matrice symétrique réelle positive de taillen.
Pourα >0, on note
Sα=M∈ Sn+(R)det(M)>α
Le but est de montrer la formule :
inf
M∈Sαtr(AM) =n(αdet(A))1n
a) Démontrer la formule dans le casA=In.
b) Montrer que toute matriceAsymétrique réelle positive peut s’écrireA=tP P
avecPmatrice carrée de taillen.
c) Démontrer la formule.
d) Le résultat est-il encore vrai siα= 0?
e) Le résultat reste-t-il vrai siA ?n’est que symétrique réelle
2
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
SoitPla matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteursa b cdans
une base orthonormée. On observe queM=tP P. La matriceMest donc
symétrique positive ce qui permet de conclure.
Exercice 2 :[énoncé]
On peut écrireA=tP DPavecP∈ On(R)etD=diag(λ1 λn),λk>0.
On a alors
tXAX=tY DYavecY=P X
et alors
n
tY DY=Xλiyi2>0
i=1
Exercice 3 :[énoncé]
SiA∈ Sn+(R)alors pour toute colonneXon atXAX>0.
PourXvecteur propre associé à la valeur propreλ, on atXAX=λtXXdonc
λ>0.
SiA∈ Sn(R)alors toute colonneXest décomposable dans une base de vecteurs
n
propres et on atXAX=Pλixi2>0en notantxila composante deXselon un
i=1
vecteur propre associé à la valeur propreλi.
Exercice 4 :[énoncé]
a) PourX=Ei,tXAX=aii>0.
b)Aest la matrice dans une baseB= (e1 en)d’unR-espace vectorielE
d’une forme bilinéaire symétrique positive.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
|aij|=|ϕ(ei ej)|6pϕ(ei ei)qϕ(ej ej) =√aii√ajj
doncaii= 0donneaij= 0pour toutj∈ {1 n}.
3
Exercice 5 :[énoncé]
a) PuisqueAest symétrique réelle,Aest orthogonalement diagonalisable et donc
il existeP∈ On(R), vérifiantA=P DP−1avecD=diag(λ1 λn),λi>0.
Posons alorsB=PΔP−1avecΔ =diag(√λ1 √λn). On vérifieB2=Aet
tB=B(cartP=P−1) et les valeurs propres deBsont évidemment positives.
b) Pourλ >0,
X2−λ=X−√λ X+√λ
avecX−√λetX+√λpremier entre eux. Par le lemme de décomposition des
noyaux
ker(A−λIn) = ker(B√−λIn)⊕ker(B+√λIn)
orker(B+√λIn) ={0}car les valeurs propres deBsont positives et donc
ker(A−λIn) = ker(B√−λIn)
c) Il est immédiat quekerB⊂kerB2= kerA.
Inversement, soitX∈kerA= kerB2= kertBB. On atBBX= 0donc
tXtBBX= 0i.e.kBXk2= 0.
On en déduitX∈kerBet donckerA= kerB
d) SoitX∈ Mn1(R). PuisqueAest diagonalisable, on peut écrire
X=XXλavecXλ∈ker(A−λIn)
λ∈SpA
Puisqueker(A−λIn) = ker(B√−λIn), on a alors
BX=XBXλ=X√λXλ
λ∈SpB λ∈SpB
ce qui détermineBde façon unique.
Exercice 6 :[énoncé]
a) PuisqueAest symétrique réelle,Aest orthogonalement diagonalisable et donc
il existeP∈ On(R), vérifiantA=P DP−1avecD=diag(λ1 λn),λi>0.
Posons alorsB=PΔP−1avecΔ =diag(√λ1 √λn). On vérifieB2=Aet
tB=B(cartP=P−1) et les valeurs propres deBsont évidemment positives.
b) SoitX∈ker(B√−λIn),BX=√λXdoncAX=B2X=λXpuis
X∈ker(A−λIn).
PuisqueAest diagonalisable,
Mn1(R) =⊕kA−λIn)
λ∈SpAer(
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PuisqueBest diagonalisable,
1(R) =⊕ker(B
Mµn∈SpB−µIn)
Corrections
Or les valeurs propres deBsont positives et leurs carrés sont valeurs propres deA
donc
SpB⊂n√λλ∈SpAo
Ceci permet d
