Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Matrices symétriques positives

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Matrices symétriques positives Exercice 6 [ 00015 ] [correction] + +Soit A∈S (R). On veut montrer qu’il existe une unique matrice B∈S (R) tellen n queExercice 1 [ 00010 ] [correction] 2 3 B =ASoient a,b,c trois vecteurs deR et   a) Prouver l’existence. a.a a.b a.c + 2b) Etablir que si B∈S (R) vérifie B =A alors pour tout λ∈ SpA,n b.a b.b b.cM = √ c.a c.b c.c ker(B− λI )⊂ ker(A−λI )n n Montrer que M diagonalisable, de valeurs propres positives et detM > 0. puis √ ker(B− λI ) = ker(A−λI )n n c) Conclure l’unicité.Exercice 2 [ 02549 ] [correction] Soit A∈M (R) symétrique dont toutes les valeurs propres sont positives.n Montrer que pour tout X∈M (R),n,1 Exercice 7 [ 03090 ] [correction] t + +XAX∈R Soit S∈S (R).n +a) Montrer qu’il existe une matrice A∈S (R) qui est un polynôme en S vérifiantn 2 A =SExercice 3 [ 00011 ] [correction] +Soit A∈S (R). Montrer que A∈S (R) si, et seulement si, ses valeurs propresn n + 2b) Soit B∈S (R) vérifiant B =S. Montrer que B commute avec A puis quensont positives ou nulles. B =A. Exercice 4 [ 00013 ] [correction] Exercice 8 [ 00016 ] [correction]+Soit A = (a )∈S (R).i,j n + +Soit A∈S (R). Montrer qu’il existe une unique matrice B∈S (R) telle quen na) Montrer que pour tout i∈{1,...,n}, a > 0.i,i 2B =A. b) Observer que si a = 0 alors, pour tout j∈{1,...,n}, a = 0.i,i i,j Exercice 9 [ 00018 ] [correction] Exercice 5 [ 03091 ] [correction] t +Soit M∈M (R). Montrer que A = MM∈S (R).