Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Signature d'une forme quadratique

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

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• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Signature d’une forme

Exercice 1[ 02630 ][correction]
Déterminer la signature de

quadratique

q(x1 x2 x3) =x21+x22+x32+ 2x1x2+ 2x1x3

Exercice 2[ 02632 ][correction]
A= (min(i j))16ij6n∈ Mn(R)etqla forme quadratique canoniquement
associée àA.
Former une décomposition de Gauss deqet déterminer la signature deA.

Exercice 3[ 02633 ][correction]
SoitA= (aij)∈ Mn(R)une matrice symétrique.
Montrer queAdéfinie positive si, et seulement si,est

∀16k6n,Δk= det((aij)16ij6k)>0

Exercice 4[ 02634 ][correction]
Montrer queϕ: (A B)7→tr(AB)est une forme bilinéaire symétrique.
En étudiant sa restriction àSn(R)etAn(R), en déterminer la signature.

Enoncés

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On peut réécrire

Corrections

q(x1 x2 x3) = (x1+x2+x3)2−2x2x3= (x1+x2+x3)2(21+x2−x3)2−(21x2+x3)2

de signature(21).

Exercice 2 :[énoncé]
n n n
q(x1     xn) =Pixi2+ 2P Pixixj=
i=1i=1j=i+1
n n n n n
(x1+∙ ∙ ∙+xn)2−2P Pxixj+P(i−1)xi2+ 2P Pixixj
i=1j=i+1i=2i=1j=i+1
n n n
doncq(x1     xn) = (x1+∙ ∙ ∙+xn)2+P(i−1)xi2+ 2P P(i−1)xixj=
i=2i=2j=i+1
n
P(xi+∙ ∙ ∙+xn)2.
i=1
Les formes linéairesϕi: (x1     xn)7→xi+∙ ∙ ∙+xnsont indépendantes, la
signature deqest(n0), c’est une forme quadratique définie positive.

Exercice 3 :[énoncé]
Soitϕla forme bilinéaire symétrique représentée parAdans la base canonique de
n
K.
SiAest définie positive alorsϕk=ϕ|Vect(e1ek)l’est encore donc
detϕk= Δk>0.
Inversement, supposons∀16k6n,Δk= det((aij)16ij6k)>0et montrer par
récurrence sur16k6nqueϕkest définie positive.
Pourk= 1: ok
Supposons la propriété établie au rang16k6n−1.
La restriction deϕk+1a Vect(e1     ek)étant définie positive, la signature de
ϕk+1est(k1),(k0)ou(k+ 10).
Dans une base orthogonale le déterminant deϕk+1est alors respectivement<0, 0
ou>0.
OrΔk+1>0doncϕk+1est de signature(k+ 10)donc définie positive.

Exercice 4 :[énoncé]
ϕest clairement bilinéaire et symétrique car tr(AB) =tr(BA).

2

n
SiA∈ Sn(R)alors tr(tAA) =Pai2j>0pour toutA6= 0.ϕ|Sn(R)est définie
ij=1
positive.
n
SiA∈ An(R)alors tr(tAA) =−Pai2j<0pour toutA6= 0.ϕ|An(R)est définie
ij=1
négative.
SiA∈ Sn(R)etB∈ An(R)alors
ϕ(A B) =tr(AB) =tr(t(AB)) =tr(tBtA) =−tr(BA) =−ϕ(A B)doncSn(R)et
An(R)sont orthogonaux.
Dans une base adaptée, on observe que la signature deϕestn(n2)1+n(n2−1).

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